Задача №17967

Решите систему уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{\cos (x^2-y^2)}+y\cdot \mathrm{tg}(x^2-y^2)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\\ \frac{y}{\cos (x^2-y^2)}+x\cdot \mathrm{tg}(x^2-y^2)=-\sqrt{\frac{\pi }{6}}\end{array}$$

Обозначим $t=x^2-y^2\text{.}$ Область определения: $\cos t\ne 0$ (иначе знаменатель и $\mathrm{tg}t$ не определены).

Система:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x}{\cos t}+y\mathrm{tg}t=\sqrt{\frac{\pi }{2}}\\ \frac{y}{\cos t}+x\mathrm{tg}t=-\sqrt{\frac{\pi }{6}}\end{array}$$

Сложим и вычтем уравнения. Сумма даёт

$$(x+y)\left(\frac{1}{\cos t}+\mathrm{tg}t\right)=(x+y)\frac{1+\sin t}{\cos t}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{6}},$$

разность даёт

$$(x-y)\left(\frac{1}{\cos t}-\mathrm{tg}t\right)=(x-y)\frac{1-\sin t}{\cos t}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{6}}.$$

Перемножим эти два равенства. В левой части

$$(x+y)(x-y)\cdot \frac{(1+\sin t)(1-\sin t)}{{\cos }^{2}t}=(x^2-y^2)\cdot \frac{{\cos }^{2}t}{{\cos }^{2}t}=x^2-y^2=t,$$

так как $\cos t\ne 0\text{.}$ В правой части

$$\left(\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{6}}\right)\left(\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{6}}\right)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}.$$

Следовательно $t=x^2-y^2=\frac{\pi }{3}$ — значение определяется однозначно, тригонометрия полностью сократилась. Проверка ОДЗ: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne 0$ — определено.

Подставим $t=\frac{\pi }{3}\text{:}$ $\cos t=\frac{1}{2},\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Тогда

$$\frac{1+\sin t}{\cos t}=2\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+\sqrt{3},\frac{1-\sin t}{\cos t}=2-\sqrt{3}.$$

Получаем линейную систему относительно $x+y$ и $x-y\text{:}$

$$(x+y)(2+\sqrt{3})=\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{6}},(x-y)(2-\sqrt{3})=\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{6}}.$$

Поскольку $2\pm \sqrt{3}\ne 0\text{,}$ отсюда $x+y$ и $x-y$ находятся однозначно:

$$x+y=\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}-\sqrt{\frac{\pi }{6}}}{2+\sqrt{3}},x-y=\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}+\sqrt{\frac{\pi }{6}}}{2-\sqrt{3}}.$$

После упрощения (домножая на сопряжённые $2\mp \sqrt{3}\text{,}$ учитывая $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=1$) и сложения/вычитания получаем

$$x=\frac{3\sqrt{2\pi }}{2},y=-\frac{5\sqrt{6\pi }}{6}.$$

Проверим согласованность: $x^2-y^2=\frac{9\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2-\frac{25\pi }{6}\text{.}$ Точнее $x^2=\frac{9}{4}\cdot 2\pi =\frac{9\pi }{2},y^2=\frac{25}{36}\cdot 6\pi =\frac{25\pi }{6}\text{,}$ и $x^2-y^2=\frac{27\pi -25\pi }{6}=\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$ — совпадает с найденным $t\text{.}$

Единственность: произведение уравнений алгебраически вынуждает $x^2-y^2=\frac{\pi }{3}$ (без тригонометрической многозначности — множители $\cos t,\sin t$ сократились тождественно), после чего оба исходных уравнения становятся линейными относительно $(x+y,x-y)$ с ненулевыми коэффициентами, что даёт ровно одно решение.

Ответ: $x=\frac{3\sqrt{2\pi }}{2},y=-\frac{5\sqrt{6\pi }}{6}$ (численно $x\approx 3,7599,y\approx -3,6180$).