Задача №17965

Григорий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Григорий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись шесть километров, Григорий заметил на берегу машущего ему рукой Василия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Григорий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Григорий с Василием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Григория, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась четверть пути и чтобы Григорий нигде не задерживался. Доставив Василия в пункт C, Григорий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Григорий, действительно, нигде не задерживался.

Расставим пункты вниз по течению. Григорий проехал $6$ км, увидел Василия и согласился отвезти его в $C\text{,}$ причём пункт $C$ он уже проехал. Значит порядок вниз по реке такой: $A\to C\to (\text{точка }6\text{ км})\to B\text{,}$ и $C$ находится между $A$ и отметкой $6$ км.

Введём расстояния от $A$ (вниз по течению положительны). Пусть $D=AB$ — полное расстояние, $c=AC$ — положение $C$ ($0<c<6$), $v_1$ — скорость быстрого катера Григория, $v_2$ — скорость второго катера. Скорости постоянны, и задержек нет.

Маршрут Григория: $A\to 6$ (расстояние $6$), затем назад $6\to C$ (расстояние $6-c$), затем $C\to B$ (расстояние $D-c$). Полное время

Второй катер идёт прямо $A\to B\text{:}$ $t_2=\frac{D}{v_2}.$

Условие одновременного прихода:

Условие встречи. Когда катера встретились, друзьям оставалась четверть пути до $B\text{,}$ то есть второй катер прошёл $\frac{3}{4}D$ и находится в точке $x=\frac{3}{4}D$ в момент $t_{\text{встр}}=\frac{\frac{3}{4}D}{v_2}\text{.}$ В этот момент Григорий возвращается от отметки $6$ к $C\text{:}$ отметки $6$ он достиг в момент $\frac{6}{v_1}\text{,}$ далее движется вверх, поэтому его координата $6-v_1\left(t-\frac{6}{v_1}\right)\text{.}$ Встреча в одной точке даёт

Решая систему (1)–(2) относительно $D$ и $v_1\text{,}$ получаем

Тогда искомое расстояние

Проверка допустимости (ОДЗ задачи). Нужно: $C$ до отметки $6$ ($c<6$); $B$ за отметкой $6\text{,}$ иначе Григорий проскочил бы $B$ ($D>6\Rightarrow c>4$); встреча происходит на обратном участке $[c,6]\text{:}$ координата встречи $\frac{3}{4}D=\frac{3}{4}(c+2)\text{,}$ и при $c\in (4,6)$ выполнено $c<\frac{3}{4}(c+2)<6\text{;}$ быстрый катер действительно быстрее: $v_1>v_2⟺14-c>c+2⟺c<6\text{.}$ Все условия совместны на непустом интервале $c\in (4,6)\text{,}$ и на всём этом интервале $BC=2$ (величина $BC$ не зависит от неоднозначного положения $C$).

Ответ: расстояние между $B$ и $C$ равно $2$ км.