Задача №17909

Лыжник Григорий ехал по довольно пологому склону, но, проехав три четверти пути, проявил неуклюжесть и сломал лыжи. Отбросив их за ненадобностью, он тут же побрёл обратно. В момент поломки с вершины горы стартовал лыжник Василий. На каком расстоянии от вершины он встретит Григория, если длина трассы равна 2100 метров, а Василий закончит спуск ровно тогда, когда Григорий доберётся до вершины горы? Скорости лыжников и пешехода считать постоянными.

Введём координату $x$ — расстояние от вершины горы; длина трассы $L=2100$ м. Григорий, проехав три четверти пути, оказался в точке $x_0=\frac{3}{4}L=1575$ м от вершины (т. е. в 525 м от подножия) и в этот момент пошёл пешком обратно вверх. Одновременно с вершины ($x=0$) стартовал Василий и поехал вниз.

Обозначим $v_{\text{п}}$ — скорость Григория пешком (вверх), $v_{\text{в}}$ — скорость Василия (вниз). Скорость спуска Григория на ответ не влияет (она задаёт лишь, где и когда произошла поломка — это уже учтено как $x_0=\frac{3}{4}L$).

Условие синхронного финиша. Григорию остаётся пройти вверх $\frac{3}{4}L\text{,}$ на это уйдёт время $T=\frac{\frac{3}{4}L}{v_{\text{п}}}\text{.}$ Василий проезжает весь склон $L$ за время $\frac{L}{v_{\text{в}}}\text{.}$ По условию оба заканчивают одновременно, поэтому

Движение. Отсчитывая время $t$ от момента поломки (старта Василия), положения от вершины:

Григорий движется к вершине ($x$ убывает), Василий — от вершины ($x$ растёт), значит они движутся навстречу и обязательно встретятся.

Встреча: $x_{\text{Г}}(t)=x_{\text{В}}(t)\text{:}$

Тогда расстояние встречи от вершины:

Проверка краёв: $t_{\text{встр}}=\frac{3}{7}T<T\text{,}$ при этом $x_{\text{В}}=900<L$ и $x_{\text{Г}}=900>0$ — встреча происходит внутри интервала движения обоих, до того как кто-либо финишировал. В момент $t=T\text{:}$ $x_{\text{Г}}(T)=0$ (Григорий на вершине), $x_{\text{В}}(T)=L$ (Василий внизу) — условие задачи выполнено. Посторонних случаев нет: знаменатель $1+\frac{3}{4}\ne 0\text{,}$ решение единственно.

Ответ: $900$ м от вершины.