Задача №17901

Велосипедист Василий выехал из пункта А в пункт Б. Проехав четверть пути, Василий наткнулся на выбоину, вследствие чего велосипед безнадёжно вышел из строя. Не теряя времени, Василий бросил сломавшийся велосипед и пошёл пешком обратно в пункт А за новым велосипедом. В момент поломки из пункта А выехал мотоциклист Григорий и, проехав 4 км, встретил Василия. Найдите расстояние между пунктами А и Б, если известно, что Василий добрался до пункта А тогда же, когда Григорий до пункта Б. Скорости велосипеда, мотоцикла и пешехода считать постоянными.

Обозначим $S$ — искомое расстояние между $A$ и $B$ (в км), $v_{\text{п}}$ — скорость пешехода, $v_{\text{м}}$ — скорость мотоцикла, $v_{\text{в}}$ — скорость велосипеда. Скорость велосипеда в ответ не войдёт.

Проехав четверть пути, Василий оказывается в точке на расстоянии $\frac{S}{4}$ от $A\text{,}$ где велосипед ломается; с этого момента (примем его за $t=0$) Василий идёт пешком обратно к $A$ со скоростью $v_{\text{п}}\text{.}$ В этот же момент из $A$ выезжает Григорий со скоростью $v_{\text{м}}$ в сторону $B\text{.}$

Григорий и Василий движутся навстречу друг другу. Григорий, проехав $4$ км, встретил Василия, значит встреча произошла в точке на расстоянии $4$ км от $A\text{.}$ К этому моменту Василий прошёл путь $\frac{S}{4}-4$ (от точки $\frac{S}{4}$ до точки $4$). Время до встречи одно и то же:

(Для корректности встречи нужно $\frac{S}{4}>4\text{,}$ то есть $S>16$ — проверим в конце.)

Василий идёт от точки $\frac{S}{4}$ до $A\text{,}$ на это уходит время $\frac{S/4}{v_{\text{п}}}\text{.}$ Григорий едет от $A$ до $B$ за время $\frac{S}{v_{\text{м}}}\text{.}$ По условию эти времена (отсчитываемые от момента поломки) равны:

Подставим $v_{\text{м}}=4v_{\text{п}}$ из (2) в (1):

Получаем $\frac{S}{4}=5>4$ — точка встречи (на расстоянии $4$ км от $A$) действительно лежит между $A$ и точкой поломки, то есть встреча происходит до возвращения Василия в $A\text{;}$ все скорости положительны; скорость велосипеда никак не использовалась и на ответ не влияет.

Итак, расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $20$ км.