Задача №17964

Через вершины $A$ и $C$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямых $AB$ и $BC\text{.}$ На этой окружности выбрана точка $D$ (внутри треугольника), лежащая на расстоянии $1$ от прямой $AC$ и на расстоянии $\sqrt{7}$ от прямой $AB\text{.}$ Найдите угол $\angle DAB\text{,}$ если известно, что $\angle CAD=\angle ABD\text{.}$

Через вершины $A$ и $C$ проведена окружность, касающаяся прямых $AB$ и $BC\text{.}$ Так как $A$ лежит и на окружности, и на прямой $AB\text{,}$ касание происходит именно в точке $A\text{;}$ аналогично окружность касается $BC$ в точке $C\text{.}$ Значит, $AB$ и $BC$ — касательные из $B\text{,}$ откуда $BA=BC$ (равные отрезки касательных), а треугольник $ABC$ равнобедренный.

Обозначим искомый угол $x=\angle DAB\text{.}$ По условию $\angle CAD=\angle ABD\text{;}$ обозначим эту общую величину $b\text{.}$ Точка $D$ лежит внутри угла $BAC\text{,}$ причём луч $AD$ расположен между лучами $AB$ и $AC\text{,}$ поэтому $\angle BAC=\angle DAB+\angle CAD=x+b\text{.}$

Шаг 1. Метрические соотношения из расстояний. Опустим перпендикуляры из $D$ на прямые $AB$ и $AC\text{.}$ Луч $AD$ образует с $AB$ угол $x\text{,}$ а с $AC$ — угол $b\text{,}$ поэтому

Деля одно на другое, получаем

Шаг 2. Угол касания (теорема об угле между касательной и хордой). Для касательной $AB$ и хорды $AD\text{:}$ угол $\angle DAB$ равен вписанному углу $\angle ACD\text{,}$ опирающемуся на дугу $AD$ в другом сегменте. Значит, $\angle ACD=x\text{.}$ В треугольнике $ACD\text{:}$ $\angle CAD=b\text{,}$ $\angle ACD=x\text{,}$ поэтому $\angle ADC=180^{\circ }-x-b\text{.}$ По теореме синусов в $△ACD\text{:}$ $AC=AD\frac{\sin (x+b)}{\sin x}$ (так как $\sin (180^{\circ }-x-b)=\sin (x+b)$). В $△ABD$ углы $x,b,180^{\circ }-x-b\text{,}$ и по теореме синусов $AB=AD\frac{\sin (x+b)}{\sin b}\text{.}$

Шаг 3. Замыкающее соотношение из $BA=BC\text{.}$ В равнобедренном $△ABC$ углы при основании равны $x+b\text{,}$ угол при вершине $\angle ABC=180^{\circ }-2(x+b)\text{;}$ по теореме синусов $BA=\frac{AC}{2\cos (x+b)}\text{.}$ Приравнивая два выражения для $BA$ (через $△ABD$ и через $△ABC$) и подставляя $AC=AD\frac{\sin (x+b)}{\sin x}\text{,}$ после сокращения получаем

Шаг 4. Решение системы. Из (R1) $\sin b=\frac{\sin x}{\sqrt{7}}\text{;}$ подставляя в (R2):

Тогда $\sin (x+b)=\sqrt{1-\frac{1}{28}}=\frac{3\sqrt{21}}{14}\text{.}$ Раскрывая $\sin x=\sqrt{7}\sin (s-x)$ при $s=x+b\text{:}$

Следовательно $x=\angle DAB=60^{\circ }$ (единственный корень в $(0^{\circ },90^{\circ })\text{;}$ $D$ при этом внутри треугольника).

Проверка (ОДЗ/края). $b=s-x\text{,}$ где $s=\arccos \frac{1}{2\sqrt{7}}\approx 79.107^{\circ }\text{,}$ даёт $b\approx 19.107^{\circ }>0\text{;}$ все углы треугольников положительны, $x+b<90^{\circ }\text{,}$ $D$ лежит внутри $\angle BAC$ и внутри $△ABC$ (барицентрические координаты положительны). Посторонних решений нет.

Ответ: $\angle DAB=60^{\circ }\text{.}$