Задача №17963

Решите неравенство $x^2{\log }_5^{2}x+5{\log }_4^{2}x⩽x{\log }_{5}x\cdot {\log }_4{x}^6\text{.}$

ОДЗ. Логарифмы определены при $x>0\text{,}$ и это единственное ограничение.

Преобразование правой части. Так как ${\log }_4{x}^6=6{\log }_{4}x\text{,}$ неравенство принимает вид

Перенесём всё влево:

Разложение на множители. Левая часть — однородный квадратный трёхчлен относительно пары $(x{\log }_{5}x,{\log }_{4}x)\text{.}$ Поскольку

при $u=x{\log }_{5}x,v={\log }_{4}x$ получаем тождественно

(Это полиномиальное тождество, без деления, поэтому переход равносильный — посторонних/потерянных корней не возникает.)

Замена. Положим $t={\log }_{5}x\text{.}$ Тогда ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{5}x}{{\log }_{5}4}=t{\log }_{4}5\text{.}$ Обозначим $c={\log }_{4}5>0\text{.}$ Подставляя ${\log }_{4}x=ct\text{:}$

Анализ. Множитель $t^2⩾0$ при всех $x>0\text{.}$ Произведение $⩽0$ выполнено тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей обращает произведение в $0$ либо знак скобок отрицателен:

1) $t=0\text{,}$ то есть ${\log }_{5}x=0\text{,}$ откуда $x=1\text{.}$ При $x=1$ обе части исходного неравенства равны нулю — точка подходит.

2) $t\ne 0$ (тогда $t^2>0$) и $(x-c)(x-5c)⩽0\text{,}$ что для $c>0$ равносильно

На этом отрезке $x>0\text{,}$ ОДЗ выполнено; концы дают равенство.

Объединение. Так как ${\log }_{4}5\approx 1,161>1\text{,}$ точка $x=1$ не попадает в отрезок $[{\log }_{4}5,5{\log }_{4}5]\approx [1,161;5,805]$ и является изолированным решением. Итог: