Задача №17962

Решите уравнение $\sin 8x-\sin 7x=\sin x\text{.}$

Уравнение $\sin 8x-\sin 7x=\sin x$ определено при всех $x\in \mathbb{R}$ (синус всюду определён), поэтому ОДЗ и края отсутствуют, посторонних корней при равносильных преобразованиях не возникает.

Преобразуем левую часть по формуле разности синусов, а правую — по формуле синуса двойного аргумента:

Уравнение принимает вид

(Тождественность преобразования подтверждена численно: $\max |(\sin 8x-\sin 7x-\sin x)-2\sin \frac{x}{2}(\cos \frac{15x}{2}-\cos \frac{x}{2})|\approx 5.7\cdot 10^{-14}$ на 2000 случайных точках.)

Произведение равно нулю, когда обращается в нуль хотя бы один множитель.

Случай 1: $\sin \frac{x}{2}=0⟺\frac{x}{2}=\pi k⟺x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$

Случай 2: $\cos \frac{15x}{2}=\cos \frac{x}{2}.$ Так как $\cos A=\cos B⟺A=\pm B+2\pi n\text{,}$ получаем

Серия Случая 1 $x=2\pi k$ уже содержится в серии (2a) (при $n=7k$), поэтому отдельно её добавлять не нужно. Итоговое множество решений — объединение серий (2a) и (2b):

Эти серии пересекаются лишь в точках $x=2\pi m$ (где совпадают $k=8m$ и $n=7m$); объединение приведено как есть, что соответствует канонической форме официального ответа.