Задача №18015

Найдите все $x,y$ из интервала $(-\pi ,\pi ]\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}10\sqrt{6}\sin x+5\sin y+4\sqrt{3}\sin \frac{x+y}{2}=6\sqrt{6}\\ 5\sin x\sin y+4\sqrt{3}\sin x\sin \frac{x+y}{2}+\sqrt{2}\sin y\sin \frac{x+y}{2}=\frac{6\sqrt{6}}{5}\end{array}$$

Положим $a=5\sin x\text{,}$ $b=\frac{5}{2\sqrt{6}}\sin y\text{,}$ $c=\sqrt{2}\sin \frac{x+y}{2}\text{.}$ Тогда исходная система примет вид

$$\{\begin{array}{l}a+b+c=3\\ ab+ac+bc=3\end{array}.$$

Тогда $2(a+b+c{)}^2-6(ab+ac+bc)=0\text{.}$ Но $2(a+b+c{)}^2-6(ab+ac+bc)=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(a-c{)}^2\text{.}$ Следовательно, $a=b=c=1\text{.}$ Получаем

$$\sin x=\frac{1}{5},\sin y=\frac{2\sqrt{6}}{5},\sin \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Заметим, что $\arcsin \frac{2\sqrt{6}}{5}=\arccos \frac{1}{5}\text{.}$ Стало быть,

$$x\in \left\{\arcsin \frac{1}{5},\pi -\arcsin \frac{1}{5}\right\},y\in \left\{\arccos \frac{1}{5},\pi -\arccos \frac{1}{5}\right\},\frac{x+y}{2}\in \left\{\pi /4,3\pi /4\right\}.$$

Данным трём условиям удовлетворяют только пары

$$(x,y)=\left(\arcsin \frac{1}{5},\arccos \frac{1}{5}\right)\text{и}(x,y)=\left(\pi -\arcsin \frac{1}{5},\pi -\arccos \frac{1}{5}\right).$$