Найдите все x,y из интервала (-pi,pi], удовлетворяющие системе уравнений cases10sqrt(6)sin x+5sin y+4sqrt(3)sin(x+y)/(2)=6sqrt(6) 5sin xsin y+4sqrt(3)sin xsin(x+y)/(2)+sqrt(2)sin ysin(x+y)/(2)=(6sqrt(6))/(5)cases

Положим a=5sin x, b=(5)/(2sqrt(6))sin y, c=sqrt(2)sin(x+y)/(2). Тогда исходная система примет вид casesa+b+c=3 ab+ac+bc=3cases. Тогда 2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=0. Но 2(a+b+c)^2-6(ab+ac+bc)=(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2. Следовательно, a=b=c=1. Получаем sin x=(1)/(5), sin y=(2sqrt(6))/(5), sin(x+y)/(2)=(1)/(sqrt(2)). Заметим, что arcsin(2sqrt(6))/(5)=arccos(1)/(5). Стало быть, xinarcsin(1)/(5), pi-arcsin(1)/(5), yinarccos(1)/(5), pi-arccos(1)/(5), (x+y)/(2)inpi/4, 3pi/4. Данным трём условиям удовлетворяют только пары (x,y)=(arcsin(1)/(5),arccos(1)/(5)) и (x,y)=(pi-arcsin(1)/(5),pi-arccos(1)/(5)).

(x,y) = \left(\arcsin\frac{1}{5},\arccos\frac{1}{5}\right),\ (x,y) = \left(\pi-\arcsin\frac{1}{5},\pi-\arccos\frac{1}{5}\right)