Задача №17801

В основании пирамиды лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $5\text{,}$ боковые рёбра $AS,BS,CS$ пирамиды равны соответственно $7\text{,}$ $7$ и $3\text{.}$ Прямой круговой цилиндр расположен так, что окружность его верхнего основания имеет ровно одну общую точку с каждой из боковых граней пирамиды, а окружность нижнего основания лежит в плоскости $ABC$ и касается прямых $AC$ и $BC\text{.}$ Найдите радиус основания цилиндра.

Введём прямоугольную систему координат, поместив основание в плоскость $Oxy\text{:}$

Тогда $△ABC$ — правильный со стороной $5\text{.}$ Координаты вершины $S=(x;y;z)$ найдём из условий $SA=SB=7\text{,}$ $SC=3\text{:}$

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $x=\frac{5}{2}\text{.}$ Вычитая первое из третьего, находим $-5\sqrt{3}y+\frac{75}{4}+\frac{75}{4}=9-49\text{,}$ откуда $y=\frac{7\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Наконец, $z^2=49-\frac{25}{4}-\frac{147}{4}=6\text{,}$ значит $z=\sqrt{6}$ (вершину берём над плоскостью основания). Итак,

Поскольку $y_S=\frac{7\sqrt{3}}{2}>\frac{5\sqrt{3}}{2}=y_C\text{,}$ проекция вершины $S$ на основание лежит вне треугольника, за вершиной $C\text{;}$ этим объясняется несимметричность конфигурации и то, что центр цилиндра окажется за точкой $C\text{.}$

Положение цилиндра. Цилиндр прямой, его нижнее основание лежит в плоскости $ABC\text{,}$ поэтому ось цилиндра перпендикулярна основанию, то есть вертикальна, а оба основания — горизонтальные окружности одного радиуса $r\text{.}$ Вся конструкция (равенство рёбер $SA=SB$ и условия касания) симметрична относительно плоскости $x=\frac{5}{2}\text{,}$ поэтому центр обеих окружностей лежит на прямой $x=\frac{5}{2}$ — это биссектриса угла $C\text{.}$ Обозначим через $O_1=\left(\frac{5}{2};t;0\right)$ центр нижнего основания и через $O_2=\left(\frac{5}{2};t;h\right)$ центр верхнего, где $t\text{,}$ $h>0$ и $r>0$ подлежат определению.

Условие на нижнее основание. Окружность нижнего основания лежит в плоскости $z=0$ и касается прямых $AC$ и $BC\text{;}$ это равносильно тому, что расстояния от $O_1$ до этих прямых равны $r\text{.}$ Прямая $AC$ имеет уравнение $\sqrt{3}x-y=0\text{,}$ поэтому

Для прямой $BC:\sqrt{3}x+y-5\sqrt{3}=0$ в силу симметрии получается то же выражение. Центр расположен за вершиной $C\text{,}$ то есть $t>\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (это подтвердится найденным значением), поэтому

Условие на верхнее основание. Верхняя окружность лежит в горизонтальной плоскости $z=h\text{.}$ Каждая боковая грань пересекает эту плоскость по горизонтальной прямой, и требование «окружность имеет ровно одну общую точку с гранью» означает касание окружности с прямой пересечения, то есть равенство расстояния от $O_2$ до этой прямой радиусу $r\text{.}$ Уравнения плоскостей боковых граней, составленные по трём вершинам, после приведения к простейшему виду таковы:

Пересекая каждую из них с плоскостью $z=h$ и вычисляя расстояние от $O_2=\left(\frac{5}{2};t;h\right)$ до полученной прямой, находим

Прямое вычисление координат точек касания показывает, что все три точки попадают внутрь соответствующих граней, а раскрытие модулей в согласии с положением центра приводит расстояния к виду, удобному для системы; после упрощения получаем

Решение системы. Сложив $(\mathrm{I})$ и $(\mathrm{III})\text{,}$ получаем $8r=\sqrt{2}h\text{.}$ Из $(\mathrm{I})$ следует $2t=4r+5\sqrt{3}\text{,}$ значит $4t=8r+10\sqrt{3}\text{.}$ Подставляя $4t$ и $7\sqrt{2}h=7\cdot 8r=56r$ в равенство $(\mathrm{II})\text{,}$ имеем

При этом $t=2r+\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{75\sqrt{3}}{26}>\frac{5\sqrt{3}}{2}\text{,}$ что согласуется с предположением о положении центра, и $h=2\sqrt{2}r=\frac{10\sqrt{6}}{13}>0\text{.}$ Все условия выполнены, точки касания лежат внутри граней, и искомая конфигурация существует.

Ответ: $r=\frac{5\sqrt{3}}{26}.$