Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
На диагоналях AB′ и BC′ граней параллелепипеда ABCDA′B′C′D′ взяты точки M и N так, что отрезки MN и A′C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.
Введём векторный аппарат. Поскольку отношение длин параллельных отрезков не меняется при аффинных преобразованиях, удобно записать все точки через три рёберных вектора параллелепипеда, выходящих из вершины A:
u=AB,v=AD,w=AA′.Эти три вектора линейно независимы (рёбра параллелепипеда из одной вершины не лежат в одной плоскости), поэтому любая точка пространства однозначно задаётся тройкой координат (p,q,r), означающей радиус-вектор pu+qv+rw с началом в A. В этих координатах вершины параллелепипеда таковы:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A′=(0,0,1), B′=(1,0,1), C′=(1,1,1), D′=(0,1,1).Что за отрезки в условии. Отрезок AB′ соединяет A=(0,0,0) и B′=(1,0,1) и лежит в грани ABB′A′ (это грань с координатой q=0), то есть AB′ — диагональ этой грани. Отрезок BC′ соединяет B=(1,0,0) и C′=(1,1,1) и лежит в грани BCC′B′ (грань с координатой p=1), то есть BC′ — диагональ этой грани. Наконец, A′C соединяет A′=(0,0,1) и C=(1,1,0) — это пространственная (главная) диагональ параллелепипеда. Заметим, что направление этой диагонали есть
A′C=C−A′=(1,1,−1),т.е.A′C=u+v−w.Параметризация точек M и N. Точка M лежит на отрезке AB′, поэтому
AM=s⋅AB′=s(1,0,1),M=(s,0,s),s∈[0,1].Точка N лежит на отрезке BC′, поэтому
BN=t⋅BC′=t(0,1,1),N=B+t(0,1,1)=(1,t,t),t∈[0,1].Тогда вектор отрезка MN равен
MN=N−M=(1−s, t, t−s).Условие параллельности. Отрезок MN параллелен A′C тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору A′C=(1,1,−1), то есть существует число k, при котором
MN=k⋅A′C.Покоординатно это даёт систему
⎩⎨⎧1−s=k,t=k,t−s=−k.Из первых двух уравнений s=1−k и t=k. Подставим в третье:
t−s=k−(1−k)=2k−1=−k ⟹ 3k=1 ⟹ k=31.Отсюда
s=1−31=32∈[0,1],t=31∈[0,1],так что точки M и N действительно лежат на самих отрезках (а не на их продолжениях), и условие задачи выполнимо ровно при таком положении точек. При этом
MN=31A′C.Отношение длин. Из равенства MN=31A′C сразу следует
∣MN∣=31∣A′C∣,то естьA′CMN=31.Подчеркнём, что вычисление проведено в координатах относительно произвольного (вообще говоря, косоугольного) базиса u,v,w: нигде не использовались ни прямые углы, ни равенство рёбер. Поэтому полученное отношение 31 одинаково для любого параллелепипеда, что и естественно — ответ есть аффинный инвариант конфигурации.