На диагоналях AB' и BC' граней параллелепипеда ABCDA'B'C'D' взяты точки M и N так, что отрезки MN и A'C параллельны. Найдите отношение длин этих отрезков.

Введём векторный аппарат. Поскольку отношение длин параллельных отрезков не меняется при аффинных преобразованиях, удобно записать все точки через три рёберных вектора параллелепипеда, выходящих из вершины A: u=AB, v=AD, w=AA'. Эти три вектора линейно независимы (рёбра параллелепипеда из одной вершины не лежат в одной плоскости), поэтому любая точка пространства однозначно задаётся тройкой координат (p,q,r), означающей радиус-вектор pu+qv+rw с началом в A. В этих координатах вершины параллелепипеда таковы: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0), A'=(0,0,1), B'=(1,0,1), C'=(1,1,1), D'=(0,1,1). **Что за отрезки в условии.** Отрезок AB' соединяет A=(0,0,0) и B'=(1,0,1) и лежит в грани ABB'A' (это грань с координатой q=0), то есть AB' — диагональ этой грани. Отрезок BC' соединяет B=(1,0,0) и C'=(1,1,1) и лежит в грани BCC'B' (грань с координатой p=1), то есть BC' — диагональ этой грани. Наконец, A'C соединяет A'=(0,0,1) и C=(1,1,0) — это пространственная (главная) диагональ параллелепипеда. Заметим, что направление этой диагонали есть A'C=C-A'=(1,1,-1), т.е. A'C=u+v-w. **Параметризация точек M и N.** Точка M лежит на отрезке AB', поэтому AM=s*AB'=s(1,0,1), M=(s,0,s), sin[0,1]. Точка N лежит на отрезке BC', поэтому BN=t*BC'=t(0,1,1), N=B+t(0,1,1)=(1,t,t), tin[0,1]. Тогда вектор отрезка MN равен MN=N-M=(1-s, t, t-s). **Условие параллельности.** Отрезок MN параллелен A'C тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору A'C=(1,1,-1), то есть существует число k, при котором MN=k*A'C. Покоординатно это даёт систему cases 1-s=k, t=k, t-s=-k. cases Из первых двух уравнений s=1-k и t=k. Подставим в третье: t-s=k-(1-k)=2k-1=-k 3k=1 k=(1)/(3). Отсюда s=1-(1)/(3)=(2)/(3)in[0,1], t=(1)/(3)in[0,1], так что точки M и N действительно лежат на самих отрезках (а не на их продолжениях), и условие задачи выполнимо ровно при таком положении точек. При этом MN=(1)/(3)A'C. **Отношение длин.** Из равенства MN=13A'C сразу следует |MN|=(1)/(3)|A'C|, то есть (MN)/(A'C)=(1)/(3). Подчеркнём, что вычисление проведено в координатах относительно произвольного (вообще говоря, косоугольного) базиса u,v,w: нигде не использовались ни прямые углы, ни равенство рёбер. Поэтому полученное отношение (1)/(3) одинаково для любого параллелепипеда, что и естественно — ответ есть аффинный инвариант конфигурации.

\(\frac{1}{3}\)