Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC в точках K и L, соответственно, и пересекает сторону AC в точках M, N (точка M лежит между точками A и N). Найдите радиус этой окружности, если известно, что AM=1, NC=3, AK:KB=2:1 и BL:LC=1:4.

Обозначим длину хорды MN=t. Поскольку точка M лежит между A и N, на прямой AC точки идут в порядке A,M,N,C, поэтому AN=AM+MN=1+t, CM=CN+NM=3+t, AC=AM+MN+NC=4+t. **Степень точек A и C.** Прямая AB касается окружности в точке K, а прямая AC — секущая, проходящая через M и N. По свойству касательной и секущей (степень точки) из вершины A: AK^2=AM* AN=1*(1+t)=1+t. Аналогично из вершины C (касательная CL, секущая через N и M): CL^2=CN* CM=3*(3+t)=9+3t. **Равенство касательных из B.** Из вершины B к окружности проведены две касательные, точки касания которых — K и L; значит BK=BL. По условию AK:KB=2:1, откуда BK=12 AK; по условию BL:LC=1:4, откуда BL=14 CL. Следовательно, (AK)/(2)=(CL)/(4) 4AK^2=CL^2 4(1+t)=9+3t t=5. Таким образом, MN=5, AN=6, CM=8, AC=9, AK=sqrt(6), CL=sqrt(24)=26, BK=BL=(6)/(2). Стороны треугольника: AB=32 AK=(36)/(2), BC=54 CL=(56)/(2), AC=9 (неравенство треугольника выполнено: AB+BC=46~9,8>9). **Нахождение радиуса координатным методом.** Поместим A=(0,0), C=(9,0). Из AB=(36)/(2), BC=(56)/(2) находим вершину B=((19)/(6),(55)/(6)). Тогда M=(1,0), N=(6,0), K=A+(AK)/(AB)(B-A)=((19)/(9),(55)/(9)), L=C+(CL)/(CB)(B-C)=((13)/(3),(25)/(3)). Центр O=(p,q) равноудалён от M и N, поэтому p=(1+6)/(2)=72. Подставляя условие прохождения через K (или L), получаем O=(72,-(5)/(2)), r^2=(K-O)*(K-O)=(15)/(2), r=sqrt((15)/(2))=(sqrt(30))/(2). Прямая проверка даёт для всех четырёх точек M,N,K,L одно и то же расстояние до O, равное r, причём OK AB и OL BC — то есть окружность действительно касается сторон AB и BC в точках K и L и пересекает AC в M и N. (Тот же результат получается из хорды: половина MN равна 2,5, расстояние от центра до прямой AC равно |q|=(5)/(2), откуда r^2=2,5^2+54=(15)/(2).) **Ответ:** r=(sqrt(30))/(2).

\dfrac{\sqrt{30}}{2}