Задача №17799

Окружность касается сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $L\text{,}$ соответственно, и пересекает сторону $AC$ в точках $M\text{,}$ $N$ (точка $M$ лежит между точками $A$ и $N$). Найдите радиус этой окружности, если известно, что $AM=1\text{,}$ $NC=3\text{,}$ $AK:KB=2:1$ и $BL:LC=1:4\text{.}$

Обозначим длину хорды $MN=t\text{.}$ Поскольку точка $M$ лежит между $A$ и $N\text{,}$ на прямой $AC$ точки идут в порядке $A,M,N,C\text{,}$ поэтому

Степень точек $A$ и $C\text{.}$ Прямая $AB$ касается окружности в точке $K\text{,}$ а прямая $AC$ — секущая, проходящая через $M$ и $N\text{.}$ По свойству касательной и секущей (степень точки) из вершины $A\text{:}$

Аналогично из вершины $C$ (касательная $CL\text{,}$ секущая через $N$ и $M$):

Равенство касательных из $B\text{.}$ Из вершины $B$ к окружности проведены две касательные, точки касания которых — $K$ и $L\text{;}$ значит $BK=BL\text{.}$ По условию $AK:KB=2:1\text{,}$ откуда $BK=\frac{1}{2}AK\text{;}$ по условию $BL:LC=1:4\text{,}$ откуда $BL=\frac{1}{4}CL\text{.}$ Следовательно,

Таким образом,

Стороны треугольника: $AB=\frac{3}{2}AK=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{,}$ $BC=\frac{5}{4}CL=\frac{5\sqrt{6}}{2}\text{,}$ $AC=9$ (неравенство треугольника выполнено: $AB+BC=4\sqrt{6}\approx 9,8>9$).

Нахождение радиуса координатным методом. Поместим $A=(0,0)\text{,}$ $C=(9,0)\text{.}$ Из $AB=\frac{3\sqrt{6}}{2}\text{,}$ $BC=\frac{5\sqrt{6}}{2}$ находим вершину $B=\left(\frac{19}{6},\frac{5\sqrt{5}}{6}\right)\text{.}$ Тогда

Центр $O=(p,q)$ равноудалён от $M$ и $N\text{,}$ поэтому $p=\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}\text{.}$ Подставляя условие прохождения через $K$ (или $L$), получаем

Прямая проверка даёт для всех четырёх точек $M,N,K,L$ одно и то же расстояние до $O\text{,}$ равное $r\text{,}$ причём $\overrightarrow{OK}\perp AB$ и $\overrightarrow{OL}\perp BC$ — то есть окружность действительно касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ и пересекает $AC$ в $M$ и $N\text{.}$

(Тот же результат получается из хорды: половина $MN$ равна $2,5\text{,}$ расстояние от центра до прямой $AC$ равно $|q|=\frac{\sqrt{5}}{2}\text{,}$ откуда $r^2=2,5^2+\frac{5}{4}=\frac{15}{2}\text{.}$)

Ответ: $r=\frac{\sqrt{30}}{2}\text{.}$