Задача №18578

Решите неравенство

$$({\log }_{x}2{)}^{x-1}\le ({\log }_{x}3{)}^{-(2x+1)}.$$

Решение

Требуется решить неравенство

$$({\log }_{x}2{)}^{x-1}\le ({\log }_{x}3{)}^{-(2x+1)}.$$

ОДЗ. Показатели $x-1$ и $-(2x+1)$ при переменном $x$ принимают, вообще говоря, иррациональные значения, а степень с иррациональным показателем определена только при положительном основании. Поэтому нужно, чтобы

$${\log }_{x}2>0,{\log }_{x}3>0,x>0,x\ne 1.$$

Так как $2>1$ и $3>1\text{,}$ при основании $x$ условие ${\log }_{x}a>0$ равносильно $x>1\text{.}$ Значит, область допустимых значений: $x>1\text{.}$ На ней оба основания положительны, а вместе с ними положительны и обе части неравенства.

Логарифмирование. Обе части положительны, натуральный логарифм строго возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно

$$(x-1)\ln ({\log }_{x}2)\le -(2x+1)\ln ({\log }_{x}3),$$

то есть

$$(x-1)\ln ({\log }_{x}2)+(2x+1)\ln ({\log }_{x}3)\le 0.$$

Ключевое упрощение. Заметим тождество

$${\log }_{x}3=\frac{\ln 3}{\ln x}=\frac{\ln 2}{\ln x}\cdot \frac{\ln 3}{\ln 2}={\log }_{x}2\cdot {\log }_{2}3,$$

откуда $\ln ({\log }_{x}3)=\ln ({\log }_{x}2)+\ln ({\log }_{2}3)\text{.}$ Подставим это и соберём слагаемые с множителем $\ln ({\log }_{x}2)\text{:}$

$$[(x-1)+(2x+1)]\ln ({\log }_{x}2)+(2x+1)\ln ({\log }_{2}3)\le 0,$$ $$3x\ln ({\log }_{x}2)+(2x+1)\ln ({\log }_{2}3)\le 0.$$

Обозначим постоянную $k=\ln ({\log }_{2}3)\text{;}$ поскольку ${\log }_{2}3>1\text{,}$ имеем $k>0\text{.}$ Используя ${\log }_{x}2=\frac{1}{{\log }_{2}x}\text{,}$ то есть $\ln ({\log }_{x}2)=-\ln ({\log }_{2}x)\text{,}$ приходим к равносильному неравенству

$$3x\ln ({\log }_{2}x)\ge (2x+1)k.$$

Необходимое условие $x>2\text{.}$ Правая часть последнего неравенства положительна при всех $x>1$ (ведь $k>0$ и $2x+1>0$). Значит, и левая часть обязана быть положительной: $\ln ({\log }_{2}x)>0\text{,}$ то есть ${\log }_{2}x>1\text{,}$ откуда $x>2\text{.}$ При $1<x\le 2$ имеем ${\log }_{2}x\le 1\text{,}$ тогда $\ln ({\log }_{2}x)\le 0\text{,}$ и левая часть $\le 0<$ правой — решений нет. Итак, все решения лежат в промежутке $x>2\text{.}$

Монотонность. Рассмотрим на $(2;+\infty )$ функцию

$$h(x)=3x\ln ({\log }_{2}x)-(2x+1)k,$$

так что неравенство принимает вид $h(x)\ge 0\text{.}$ Найдём производную, учитывая $\frac{d}{dx}\ln ({\log }_{2}x)=\frac{1}{x\ln x}\text{:}$

$$h^{\prime }(x)=3\ln ({\log }_{2}x)+\frac{3}{\ln x}-2k.$$

Покажем, что $h^{\prime }(x)>0$ на всём $(2;+\infty )\text{.}$ Сначала заметим, что $2k=2\ln ({\log }_{2}3)<2\ln 2\text{,}$ поскольку ${\log }_{2}3<2\text{.}$

• При $2<x\le 4\text{:}$ $\frac{3}{\ln x}\ge \frac{3}{\ln 4}=\frac{3}{2\ln 2}\text{.}$ При этом $\frac{3}{2\ln 2}>2\ln 2\text{,}$ так как это равносильно $3>4{\ln }^{2}2\approx 1,92\text{.}$ Значит, $\frac{3}{\ln x}>2\ln 2>2k\text{,}$ а слагаемое $3\ln ({\log }_{2}x)\ge 0\text{;}$ поэтому $h^{\prime }(x)>0\text{.}$
• При $x>4\text{:}$ ${\log }_{2}x>2>{\log }_{2}3\text{,}$ поэтому $3\ln ({\log }_{2}x)>3k>2k\text{,}$ а $\frac{3}{\ln x}>0\text{;}$ снова $h^{\prime }(x)>0\text{.}$

Следовательно, $h$ строго возрастает на $(2;+\infty )\text{.}$

Единственный корень и ответ. Подсчитаем значения на концах отрезка $[2;3]\text{:}$

$$h(2)=6\ln ({\log }_{2}2)-5k=6\cdot 0-5k=-5k<0,h(3)=9k-7k=2k>0.$$

Строго возрастающая непрерывная функция $h$ меняет знак с минуса на плюс ровно один раз, поэтому у неё есть единственный корень $x_0\in (2;3)\text{,}$ и

$$h(x)\ge 0⟺x\ge x_0.$$

Численно $x_0\approx 2,71$ (точнее $x_0\approx 2,7106$) — единственный на $(2;3)$ корень уравнения

$$3x\ln ({\log }_{2}x)=(2x+1)\ln ({\log }_{2}3)⟺({\log }_{2}x{)}^{3x}=({\log }_{2}3{)}^{2x+1}.$$

В точке $x_0$ в исходном неравенстве достигается равенство, поэтому она входит в ответ. При $x\ge x_0$ неравенство выполнено, при $1<x<x_0$ — нет.

Проверка. При $x=3\text{:}$ левая часть $({\log }_{3}2{)}^2\approx 0,40\text{,}$ правая $({\log }_{3}3{)}^{-7}=1\text{;}$ $0,40\le 1$ — верно. При $x=2,5\text{:}$ левая $\approx 0,66\text{,}$ правая $\approx 0,34\text{;}$ неравенство $0,66\le 0,34$ ложно — точка вне ответа, что согласуется с $x_0\approx 2,71\text{.}$

Ответ: $x\in [x_0;+\infty )\text{,}$ где $x_0\approx 2,71$ — единственный корень уравнения $3x\ln ({\log }_{2}x)=(2x+1)\ln ({\log }_{2}3)$ на промежутке $(2;3)\text{.}$