Решите неравенство (_x 2)^(x-1) <= (_x 3)^(-(2x+1)).
## Решение Требуется решить неравенство (_x 2)^(x-1)<=(_x 3)^(-(2x+1)). **ОДЗ.** Показатели x-1 и -(2x+1) при переменном x принимают, вообще говоря, иррациональные значения, а степень с иррациональным показателем определена только при положительном основании. Поэтому нужно, чтобы _x 2>0, _x 3>0, x>0, x!= 1. Так как 2>1 и 3>1, при основании x условие _x a>0 равносильно x>1. Значит, область допустимых значений: x>1. На ней оба основания положительны, а вместе с ними положительны и обе части неравенства. **Логарифмирование.** Обе части положительны, натуральный логарифм строго возрастает, поэтому исходное неравенство равносильно (x-1)ln(_x 2)<= -(2x+1)ln(_x 3), то есть (x-1)ln(_x 2)+(2x+1)ln(_x 3)<= 0. **Ключевое упрощение.** Заметим тождество _x 3=(ln 3)/(ln x)=(ln 2)/(ln x)*(ln 3)/(ln 2)=_x 2*_2 3, откуда ln(_x 3)=ln(_x 2)+ln(_2 3). Подставим это и соберём слагаемые с множителем ln(_x 2): [(x-1)+(2x+1)]ln(_x 2)+(2x+1)ln(_2 3)<= 0, 3xln(_x 2)+(2x+1)ln(_2 3)<= 0. Обозначим постоянную k=ln(_2 3); поскольку _2 3>1, имеем k>0. Используя _x 2=(1)/(_2 x), то есть ln(_x 2)=-ln(_2 x), приходим к равносильному неравенству 3xln(_2 x) >= (2x+1)k. **Необходимое условие x>2.** Правая часть последнего неравенства положительна при всех x>1 (ведь k>0 и 2x+1>0). Значит, и левая часть обязана быть положительной: ln(_2 x)>0, то есть _2 x>1, откуда x>2. При 1<x<= 2 имеем _2 x<= 1, тогда ln(_2 x)<= 0, и левая часть <= 0< правой — решений нет. Итак, все решения лежат в промежутке x>2. **Монотонность.** Рассмотрим на (2;+inf) функцию h(x)=3xln(_2 x)-(2x+1)k, так что неравенство принимает вид h(x)>= 0. Найдём производную, учитывая (d)/(dx)ln(_2 x)=(1)/(xln x): h'(x)=3ln(_2 x)+(3)/(ln x)-2k. Покажем, что h'(x)>0 на всём (2;+inf). Сначала заметим, что 2k=2ln(_2 3)<2ln 2, поскольку _2 3<2. - При 2<x<= 4: (3)/(ln x)>=(3)/(ln 4)=(3)/(2ln 2). При этом (3)/(2ln 2)>2ln 2, так как это равносильно 3>4ln^2 2~ 1,92. Значит, (3)/(ln x)>2ln 2>2k, а слагаемое 3ln(_2 x)>= 0; поэтому h'(x)>0. - При x>4: _2 x>2>_2 3, поэтому 3ln(_2 x)>3k>2k, а (3)/(ln x)>0; снова h'(x)>0. Следовательно, h строго возрастает на (2;+inf). **Единственный корень и ответ.** Подсчитаем значения на концах отрезка [2;3]: h(2)=6ln(_2 2)-5k=6* 0-5k=-5k<0, h(3)=9k-7k=2k>0. Строго возрастающая непрерывная функция h меняет знак с минуса на плюс ровно один раз, поэтому у неё есть единственный корень x_0in(2;3), и h(x)>= 0 x>= x_0. Численно x_0~ 2,71 (точнее x_0~ 2,7106) — единственный на (2;3) корень уравнения 3xln(_2 x)=(2x+1)ln(_2 3) (_2 x)^(3x)=(_2 3)^(2x+1). В точке x_0 в исходном неравенстве достигается равенство, поэтому она входит в ответ. При x>= x_0 неравенство выполнено, при 1<x<x_0 — нет. **Проверка.** При x=3: левая часть (_3 2)^2~ 0,40, правая (_3 3)^(-7)=1; 0,40<= 1 — верно. При x=2,5: левая ~ 0,66, правая ~ 0,34; неравенство 0,66<= 0,34 ложно — точка вне ответа, что согласуется с x_0~ 2,71. **Ответ:** xin[x_0;+inf), где x_0~ 2,71 — единственный корень уравнения 3xln(_2 x)=(2x+1)ln(_2 3) на промежутке (2;3).
\(x\in[x_0;+\infty)\), где \(x_0\approx 2{,}71\) — единственный корень уравнения \(3x\ln(\log_2 x)=(2x+1)\ln(\log_2 3)\) (равносильно \((\log_2 x)^{3x}=(\log_2 3)^{2x+1}\)) на промежутке \((2;3)\).