Задача №18551

Решите неравенство: ${\log }_{\frac{1}{2}}x\cdot {\log }_{\frac{1}{3}}x\ge {\log }_3{x}^3+{\log }_2{x}^2\text{.}$

Область допустимых значений. Логарифмы ${\log }_{1/2}x$ и ${\log }_{1/3}x$ определены только при $x>0\text{,}$ поэтому ОДЗ: $x>0\text{.}$ На этой области верны тождества ${\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x$ и ${\log }_2{x}^2=2{\log }_{2}x\text{.}$

Переход к одной переменной. Введём $t=\ln x$ (при $x>0$ значение $t$ пробегает всю числовую прямую). Перепишем каждый логарифм через натуральный:

Тогда левая часть неравенства равна

Правая часть:

Заметим, что $3\ln 2+2\ln 3=\ln 2^3+\ln 3^2=\ln 8+\ln 9=\ln 72\text{,}$ поэтому правая часть равна $\frac{t\ln 72}{\ln 2\ln 3}\text{.}$

Упрощение неравенства. Неравенство принимает вид

Знаменатель $\ln 2\ln 3>0\text{,}$ поэтому его можно отбросить, не меняя знак неравенства:

Решение квадратного неравенства. Парабола $t(t-\ln 72)$ с положительным старшим коэффициентом имеет корни $t=0$ и $t=\ln 72$ (причём $\ln 72>0$), и неотрицательна вне интервала между корнями:

Возврат к $x\text{.}$ Вспомним, что $t=\ln x\text{,}$ а функция $\ln$ возрастающая:

• $\ln x\le 0=\ln 1⟺0<x\le 1$ (учли ОДЗ $x>0$);
• $\ln x\ge \ln 72⟺x\ge 72\text{.}$

Оба граничных значения $x=1$ и $x=72$ неравенство обращают в равенство и потому входят в ответ.

Проверка. Численная подстановка подтверждает: при $x=0,5$ левая часть $\approx 0,63\text{,}$ правая $\approx -3,89$ (неравенство верно); при $x=10$ левая $\approx 6,96<$ правой $\approx 12,93$ (неверно); при $x=100$ левая $\approx 27,85>$ правой $\approx 25,86$ (верно). Граница $x=72$ даёт равенство $24,018=24,018\text{.}$ Всё согласуется с найденным множеством.

Ответ: $x\in (0;1]\cup [72;+\infty )\text{.}$