Решите неравенство: _((1)/(2)) x * _((1)/(3)) x >= _3 x^3 + _2 x^2.
**Область допустимых значений.** Логарифмы _(1/2) x и _(1/3) x определены только при x>0, поэтому ОДЗ: x>0. На этой области верны тождества _3 x^3 = 3_3 x и _2 x^2 = 2_2 x. **Переход к одной переменной.** Введём t=ln x (при x>0 значение t пробегает всю числовую прямую). Перепишем каждый логарифм через натуральный: _((1)/(2)) x = (ln x)/(ln 12) = -(t)/(ln 2), _((1)/(3)) x = (ln x)/(ln 13) = -(t)/(ln 3). Тогда левая часть неравенства равна _((1)/(2)) x * _((1)/(3)) x = (-(t)/(ln 2))(-(t)/(ln 3)) = (t^2)/(ln 2ln 3). Правая часть: _3 x^3 + _2 x^2 = 3_3 x + 2_2 x = (3t)/(ln 3) + (2t)/(ln 2) = (3tln 2 + 2tln 3)/(ln 2ln 3). Заметим, что 3ln 2 + 2ln 3 = ln 2^3 + ln 3^2 = ln 8 + ln 9 = ln 72, поэтому правая часть равна (tln 72)/(ln 2ln 3). **Упрощение неравенства.** Неравенство принимает вид (t^2)/(ln 2ln 3) >= (tln 72)/(ln 2ln 3). Знаменатель ln 2ln 3>0, поэтому его можно отбросить, не меняя знак неравенства: t^2 >= tln 72 t^2 - tln 72 >= 0 t(t - ln 72) >= 0. **Решение квадратного неравенства.** Парабола t(t-ln 72) с положительным старшим коэффициентом имеет корни t=0 и t=ln 72 (причём ln 72>0), и неотрицательна вне интервала между корнями: t <= 0 или t >= ln 72. **Возврат к x.** Вспомним, что t=ln x, а функция ln возрастающая: - ln x <= 0 = ln 1 0 < x <= 1 (учли ОДЗ x>0); - ln x >= ln 72 x >= 72. Оба граничных значения x=1 и x=72 неравенство обращают в равенство и потому входят в ответ. **Проверка.** Численная подстановка подтверждает: при x=0,5 левая часть ~ 0,63, правая ~ -3,89 (неравенство верно); при x=10 левая ~ 6,96 < правой ~ 12,93 (неверно); при x=100 левая ~ 27,85> правой ~ 25,86 (верно). Граница x=72 даёт равенство 24,018=24,018. Всё согласуется с найденным множеством. **Ответ:** x in (0;1] U [72;+inf).
\(x \in (0;\,1] \cup [72;\,+\infty)\)