Задача №18582

Найдите значение выражения

$${\left(3\cos \frac{11\pi }{4}+\sqrt{2}\right)}^2.$$

Сводим угол к табличному. Косинус имеет период $2\pi \text{,}$ поэтому

$$\frac{11\pi }{4}=2\pi +\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \cos \frac{11\pi }{4}=\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Подставляем в скобку.

$$3\cos \frac{11\pi }{4}+\sqrt{2}=3\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Возводим в квадрат.

$${\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

То же самое даёт прямое раскрытие: $9{\cos }^2\frac{11\pi }{4}+6\sqrt{2}\cos \frac{11\pi }{4}+2=9\cdot \frac{1}{2}-6+2=\frac{1}{2}$ (здесь $6\sqrt{2}\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-6$).

Итог. Выражение равно $\frac{1}{2}\text{.}$