Задача №17828

В $14:00$ из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть $500$ метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошел обратно к Верхнему. В $14:14\text{,}$ когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в $14:18\text{.}$ Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

В момент выхода «Смелого» из села Нижнее расстояние между катерами составляло $500$ м. Так как против течения реки они двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда «Смелый», развернувшись, двинулся назад в сторону Нижнего, расстояние между «Смелым» и «Быстрым» составляло $500$ м. Согласно условию в этот момент расстояние по реке от «Быстрого» до села Верхнее также составляло $500$ метров. Эти последние $500$ метров пути катер «Быстрый» проплыл за $4$ минуты, двигаясь против течения. Следовательно, его скорость относительно берега при движении против течения реки равна $500/4=125$ м/мин.

Пусть $S$ метров — расстояние между селами Верхнее и Нижнее и $v$ м/мин. — скорость катеров относительно берега при движении по течению реки. Ясно, что $v>125\text{.}$

Из сказанного выше следует, что в момент разворота катера «Смелый» расстояние по реке от него до села Верхнее равнялось $1000$ метров, а длина обратного пути «Смелого» до села Нижнее равнялась $S-1000$ метров. «Смелый» проплыл этот путь по течению реки за $4$ минуты, поэтому $S-1000=4v$ или $S=4v+1000$ метров.

По условию катер «Быстрый» до разворота проплыл $S-500$ метров, затратив на весь свой путь $18$ минут. Поэтому

Подставляя в это равенство $1000+4v$ вместо $S$ и обозначая для краткости $x=\frac{v}{125}\text{,}$ приходим к уравнению

Решая это уравнение, находим корни $x_1=2\text{,}$ $x_2=1/2\text{.}$ Учитывая, что $x>1\text{,}$ получаем: $x=2\text{,}$ $v=250$ и $S=2000\text{.}$ Стало быть, искомое расстояние равно $2$ км.