Задача №17505

На высоте $AH$ остроугольного треугольника $ABC$ как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите отношение $BH:HC\text{,}$ если $BD:DA=2:1$ и $AE:EC=3:1\text{.}$

Положим $BD=a\text{,}$ $DA=b\text{,}$ $AE=c\text{,}$ $EC=d\text{,}$ $BH=x\text{,}$ $CH=y\text{.}$ Тогда $x^2=a(a+b)$ и $y^2=d(c+d)\text{.}$ Поскольку треугольники $ABC$ и $AED$ подобны, имеем также $b(a+b)=c(c+d)\text{.}$ Стало быть,

То есть $x/y=\sqrt{6}\text{.}$