В основании четырёхугольной пирамиды ABCDS лежит параллелограмм ABCD . На ребре SB отмечена точка E , так что SE : EB = 2 : 1 . На ребре SD отмечена точка F , так что SF : FD = 1 : 2 . Найдите отношение, в котором плоскость AEF делит объём пирамиды.

Проведём через точки B , C , D соответственно прямые l_B , l_C , l_D , параллельные AS . Обозначим через B' , C' , D' соответственно точки пересечения плоскости AEF с прямыми l_B , l_C , l_D . Тогда BB' = (1)/(2)AS , DD' = 2AS , откуда CC' = (5)/(2)AS . Пусть G — точка пересечения плоскости AEF с CS . Тогда SG : GC = 2 : 5 . Далее, vol(AEGFS) = vol(AEFS) + vol(EGFS) = (2)/(3) * (1)/(3) * vol(ABDS) + (2)/(3) * (1)/(3) * (2)/(7) * vol(BCDS) = = ((2)/(3) * (1)/(3) + (2)/(3) * (1)/(3) * (2)/(7)) * (1)/(2)vol(ABCDS) = (1)/(7)vol(ABCDS). Стало быть, искомое отношение равно 1 : 6 .

1 : 6