Задача №17527

В основании четырёхугольной пирамиды $ABCDS$ лежит параллелограмм $ABCD\text{.}$ На ребре $SB$ отмечена точка $E\text{,}$ так что $SE:EB=2:1\text{.}$ На ребре $SD$ отмечена точка $F\text{,}$ так что $SF:FD=1:2\text{.}$ Найдите отношение, в котором плоскость $AEF$ делит объём пирамиды.

Проведём через точки $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ соответственно прямые $l_B\text{,}$ $l_C\text{,}$ $l_D\text{,}$ параллельные $AS\text{.}$ Обозначим через $B^{\prime }\text{,}$ $C^{\prime }\text{,}$ $D^{\prime }$ соответственно точки пересечения плоскости $AEF$ с прямыми $l_B\text{,}$ $l_C\text{,}$ $l_D\text{.}$ Тогда $B{B}^{\prime }=\frac{1}{2}AS\text{,}$ $D{D}^{\prime }=2AS\text{,}$ откуда $C{C}^{\prime }=\frac{5}{2}AS\text{.}$ Пусть $G$ — точка пересечения плоскости $AEF$ с $CS\text{.}$ Тогда $SG:GC=2:5\text{.}$ Далее,

Стало быть, искомое отношение равно $1:6\text{.}$