Задача №18583

Найдите сумму всех корней уравнения

$$2x^2-18x=36x+116.$$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения $2x^2-18x=36x+116\text{:}$

$$2x^2-18x-36x-116=0⟹2x^2-54x-116=0.$$

Разделим обе части на $2\text{:}$

$$x^2-27x-58=0.$$

Дискриминант положителен: $D=27^2+4\cdot 58=729+232=961=31^2>0\text{,}$ значит уравнение имеет два различных корня. По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна коэффициенту при $x$ с обратным знаком, то есть $27\text{.}$

Для контроля найдём сами корни: $x=\frac{27\pm 31}{2}\text{,}$ откуда $x_1=29$ и $x_2=-2\text{.}$ Их сумма $29+(-2)=27\text{.}$

Ответ: $27\text{.}$