Все рёбра прямой треугольной призмы ABCA'B'C' с основанием ABC и боковыми рёбрами AA', BB', CC' равны. Найдите отношение, в котором делит объём этой призмы плоскость, проходящая через вершину C' и через середины рёбер AB, AA'.

Пусть рёбра призмы равны 1. Пусть K — середина AB, L — середина AA'. Обозначим через N точку пересечения прямой LK с прямой BB'. Поскольку AK=KB, имеем BN=LA=(1)/(2)AA'=(1)/(2)BB'. Обозначим через M точку пересечения NC' с BC. Тогда из подобия треугольников NBM и NB'C' получаем BM=(1)/(3)B'C'=(1)/(3)BC. Найдём объём части, содержащей A'B'C'. Эта часть состоит из тетраэдра KBMC' и пятиугольной пирамиды KBB'A'LC'. Тетраэдр KBMC' имеет объём (1)/(3)* CC'*(KB)/(AB)*(BM)/(BC)* S_( ABC)=(1)/(18)*(sqrt(3))/(4)=(sqrt(3))/(72). Пирамида KBB'A'LC' имеет объём (1)/(3)*(sqrt(3))/(2)*(1-(1)/(8))AB* AA'=(7sqrt(3))/(48). В сумме получаем (sqrt(3))/(72)+(7sqrt(3))/(48)=(23sqrt(3))/(144). Объём всей призмы равен (sqrt(3))/(4), поэтому объём оставшейся части равен (sqrt(3))/(4)-(23sqrt(3))/(144)=(36sqrt(3)-23sqrt(3))/(144)=(13sqrt(3))/(144). Стало быть, искомое отношение равно 23:13.

23 : 13