Задача №17696

Все рёбра прямой треугольной призмы $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ с основанием $ABC$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ равны. Найдите отношение, в котором делит объём этой призмы плоскость, проходящая через вершину $C^{\prime }$ и через середины рёбер $AB\text{,}$ $A{A}^{\prime }\text{.}$

Пусть рёбра призмы равны 1.

Пусть $K$ — середина $AB\text{,}$ $L$ — середина $A{A}^{\prime }\text{.}$ Обозначим через $N$ точку пересечения прямой $LK$ с прямой $B{B}^{\prime }\text{.}$ Поскольку $AK=KB\text{,}$ имеем $BN=LA=\frac{1}{2}A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}B{B}^{\prime }\text{.}$ Обозначим через $M$ точку пересечения $N{C}^{\prime }$ с $BC\text{.}$ Тогда из подобия треугольников $NBM$ и $N{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ получаем $BM=\frac{1}{3}{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{3}BC\text{.}$

Найдём объём части, содержащей $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\text{.}$ Эта часть состоит из тетраэдра $KBM{C}^{\prime }$ и пятиугольной пирамиды $KB{B}^{\prime }{A}^{\prime }L{C}^{\prime }\text{.}$

Тетраэдр $KBM{C}^{\prime }$ имеет объём

Пирамида $KB{B}^{\prime }{A}^{\prime }L{C}^{\prime }$ имеет объём

В сумме получаем

Объём всей призмы равен $\frac{\sqrt{3}}{4}\text{,}$ поэтому объём оставшейся части равен

Стало быть, искомое отношение равно $23:13\text{.}$