Окружность касается середины стороны BC треугольника ABC и пересекает сторону AB в точках D и E, так что AD:DE:EB=1:2:1. Чему может равняться радиус окружности, если ∠BAC=30∘ и AC=2/3?
Обозначим AB=4t, тогда из условия AD:DE:EB=1:2:1 имеем AD=t, AE=3t, EB=t (точки лежат на стороне AB именно в этом порядке: A,D,E,B). Пусть M — середина стороны BC, в которой окружность касается BC.
Шаг 1. Степени точек. Прямая AB — секущая окружности, проходящая через D и E. Степень точки A:
pow(A)=AD⋅AE=t⋅3t=3t2.Степень точки B по той же секущей:
pow(B)=BE⋅BD=t⋅3t=3t2.Но B лежит и на прямой BC, которая касается окружности в точке M; значит степень B равна квадрату касательной:
pow(B)=BM2.Отсюда BM2=3t2, то есть BM=t3, и так как M — середина BC, то BC=2BM=2t3.
Шаг 2. Теорема косинусов. В треугольнике ABC при ∠BAC=30∘, AB=4t, AC=32:
BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅ACcos30∘.Подставляя BC2=12t2:
12t2=16t2+94−2⋅4t⋅32⋅23, 12t2=16t2+94−383t, 4t2−383t+94=0 ⟺ 9t2−63t+1=0.Дискриминант =108−36=72>0, оба корня положительны:
t=1863±72=33±2.Шаг 3. Радиус. Поместим A=(0,0), B=(4t,0), C=(32cos30∘,32sin30∘)=(33,31); тогда D=(t,0), E=(3t,0), M=2B+C. Окружность, проходящая через D,E,M, однозначно определяется этими тремя точками; её центр лежит на серединном перпендикуляре к DE (вертикаль x=2t) и на серединном перпендикуляре к DM. Для центра (x0,y0) и радиуса R прямое вычисление даёт
R=3t2+y02.Подставляя оба значения t, получаем
R=5−26=3−2приt=33−2, R=5+26=3+2приt=33+2.(Денестинг: (3∓2)2=5∓26.)
Проверка корректности обоих случаев. В каждом случае D и E лежат строго внутри отрезка AB (0<t<3t<4t); прямая BC касается окружности именно в середине M (вектор от центра к M перпендикулярен BC, а расстояние от центра до BC равно R); отношение AD:DE:EB=1:2:1 и угол ∠A=30∘ выполнены. Поэтому оба значения радиуса допустимы.
Ответ: R=3±2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ