Задача №18595

Решите уравнение

$$|9-x^2|+|x^2-x-6|=0.$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите наибольший корень.

Сумма двух модулей неотрицательна, поэтому она равна нулю только тогда, когда оба модуля равны нулю одновременно:

$$\{\begin{array}{l}9-x^2=0,\\ x^2-x-6=0.\end{array}$$

Из первого уравнения $x^2=9\text{,}$ то есть $x=\pm 3\text{.}$

Второе уравнение раскладывается на множители: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0\text{,}$ откуда $x=3$ или $x=-2\text{.}$

Общим для обеих систем является единственное значение $x=3\text{.}$ Проверка: $|9-9|+|9-3-6|=0+0=0\text{.}$

Уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: $x=3\text{.}$