Задача №17911

Найдите все пары $(x,y)\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\frac{2-\sin x}{2+\cos 2x}+\frac{2+\cos 2x}{(y+1{)}^2}+\frac{(y+1{)}^2}{2\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{y}+1}{2-\sin x}.$$

Обозначим четыре положительных блока:

$$A=2-\sin x,B=2+\cos 2x,C=(y+1{)}^2,D=2\sqrt{y}+1.$$

ОДЗ: $\sqrt{y}$ требует $y⩾0\text{.}$ При этом $A=2-\sin x\in [1,3]>0\text{,}$ $B=2+\cos 2x\in [1,3]>0\text{,}$ $C=(y+1{)}^2>0\text{,}$ $D=2\sqrt{y}+1⩾1>0\text{.}$ Все блоки строго положительны.

Выражение принимает вид циклической суммы

$$\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{D}+\frac{D}{A}.$$

Произведение этих четырёх слагаемых равно $\frac{A}{B}\cdot \frac{B}{C}\cdot \frac{C}{D}\cdot \frac{D}{A}=1\text{.}$ По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для четырёх положительных чисел

$$\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{D}+\frac{D}{A}⩾4\sqrt[4]{\frac{A}{B}\cdot \frac{B}{C}\cdot \frac{C}{D}\cdot \frac{D}{A}}=4,$$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда все четыре дроби равны (и, значит, равны единице, так как их произведение равно $1$). Это равносильно одновременному условию

$$A=B=C=D.$$

Условие $A=B\text{.}$ $2-\sin x=2+\cos 2x⟺-\sin x=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x⟺2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0⟺(2\sin x+1)(\sin x-1)=0,$ откуда $\sin x=1$ или $\sin x=-\frac{1}{2}\text{.}$ При $\sin x=1$ общее значение $A=B=2-1=1\text{;}$ при $\sin x=-\frac{1}{2}$ общее значение $A=B=2-(-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}\text{.}$

Условие $C=D\text{.}$ Положим $t=\sqrt{y}⩾0\text{:}$ $(t^2+1{)}^2=2t+1⟺t^4+2t^2-2t=0⟺t(t^3+2t-2)=0.$ Отсюда $t=0$ (то есть $y=0\text{,}$ при этом $C=D=1$) либо единственный положительный корень кубического уравнения $t^3+2t-2=0\text{,}$ $t\approx 0,7709\text{,}$ которому отвечает $C=D=(t^2+1{)}^2\approx 2,5418\text{.}$

Согласование общего значения $k=A=B=C=D\text{.}$ Со стороны $x$ возможны лишь $k=1$ или $k=\frac{5}{2}=2,5\text{;}$ со стороны $y$ возможны лишь $k=1$ или $k\approx 2,5418\text{.}$ Единственное общее значение — $k=1\text{.}$ Ветвь $k=2,5$ исключается: для неё $C=D$ даёт $\approx 2,5418\ne 2,5\text{,}$ то есть все четыре блока одновременно равными быть не могут, и на этой ветви сумма строго больше $4\text{.}$

Таким образом, равенство (минимум, равный $4$) достигается только при $k=1\text{,}$ то есть при

$$\sin x=1⟺x=\frac{\pi }{2}+2n\pi ,n\in \mathbb{Z},y=0.$$

Заметим, что серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ при нечётных $n$ даёт $\sin x=-1$ (тогда $A=3\text{,}$ $B=3\text{,}$ но $A=B=3\ne 1$ и сумма равна $\frac{16}{3}>4$), поэтому подходят именно значения $x=\frac{\pi }{2}+2n\pi \text{.}$ Точка $y=0$ лежит на границе ОДЗ и допустима: все блоки в ней определены и положительны.

Минимальное значение выражения равно $4\text{,}$ и оно достигается в точности в парах

$$x=\frac{\pi }{2}+2n\pi (n\in \mathbb{Z}),y=0.$$