Задача №17910

В правильную треугольную призму с основаниями $ABC\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ и рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ вписана сфера. Найдите её радиус, если известно, что расстояние между прямыми $A^{\prime }K$ и $B^{\prime }L$ равно $\sqrt{21}\text{,}$ где $K$ и $L$ — точки, лежащие на $AB$ и $BC$ соответственно, и $AK:KB=BL:LC=2:3\text{.}$

Обозначим сторону основания правильной треугольной призмы через $a\text{,}$ а её высоту через $h\text{.}$

Условие вписанной сферы. Сфера, вписанная в правильную призму, касается обоих оснований и всех трёх боковых граней. Касание оснований даёт $h=2r\text{.}$ Касание боковых граней означает, что радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен $r\text{:}$ $\frac{a}{2\sqrt{3}}=r\text{,}$ откуда $a=2\sqrt{3}r$ и $h=\frac{a}{\sqrt{3}}\text{.}$ Центр сферы — центроид среднего сечения; проверено, что его расстояния до основания, до грани через $AB$ и до грани через $BC$ равны $r\text{.}$

Координаты. Поместим основание в плоскость $z=0\text{:}$
$A=(0,0,0)\text{,}$ $B=(a,0,0)\text{,}$ $C=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)\text{;}$ верхнее основание сдвинуто на $(0,0,h)\text{,}$ значит $A^{\prime }=(0,0,h)\text{,}$ $B^{\prime }=(a,0,h)\text{.}$

Точки $K$ и $L\text{.}$ Так как $AK:KB=2:3\text{,}$ то $K=A+\frac{2}{5}(B-A)=\left(\frac{2a}{5},0,0\right)\text{.}$ Так как $BL:LC=2:3\text{,}$ то $L=B+\frac{2}{5}(C-B)=\left(\frac{4a}{5},\frac{a\sqrt{3}}{5},0\right)\text{.}$

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Направляющие векторы:
${\vec{d}}_1=K-A^{\prime }=\left(\frac{2a}{5},0,-h\right)\text{,}$ ${\vec{d}}_2=L-B^{\prime }=\left(-\frac{a}{5},\frac{a\sqrt{3}}{5},-h\right)\text{.}$
Соединяющий вектор $\vec{w}=B^{\prime }-A^{\prime }=(a,0,0)\text{.}$ По формуле

Прямое вычисление (подтверждено в sympy) даёт

Подстановка связи призмы. При $a=2\sqrt{3}r\text{,}$ $h=2r\text{:}$

Уравнение. По условию $\rho =\sqrt{21}\text{:}$

Прямые $A^{\prime }K$ и $B^{\prime }L$ действительно скрещивающиеся (${\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2\ne \vec{0}$), $r>0\text{,}$ все требования вписанной сферы выполнены. Итог: $r=\frac{14}{5}\text{.}$