Задача №17542

Вписанная в треугольную пирамиду $ABCD$ сфера касается граней $BCD\text{,}$ $ACD\text{,}$ $ABD$ и $ABC$ в точках $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ и $D_1$ соответственно. Известно, что $D_1$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC\text{,}$ что плоскости $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{.}$ Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок $D{D}_1\text{,}$ считая от вершины $D\text{.}$

Пусть $O$ — центр сферы и пусть $A_2\text{,}$ $B_2\text{,}$ $C_2$ — основания высот треугольника $ABC\text{,}$ опущенных из вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ соответственно. Рассмотрим четырёхугольники $O{A}_1{A}_2{D}_1\text{,}$ $O{B}_1{B}_2{D}_1\text{,}$ $O{C}_1{C}_2{D}_1\text{.}$ Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты $O{D}_1\text{,}$ $O{A}_1\text{,}$ $O{B}_1\text{,}$ $O{C}_1$ равны. Из равенства расстояний от $A_1\text{,}$ $B_1\text{,}$ $C_1$ до плоскости $ABC$ следует, что равны углы $D_{1}O{A}_1\text{,}$ $D_{1}O{B}_1\text{,}$ $D_{1}O{C}_1\text{,}$ а стало быть, равны и углы $D_1{A}_2{A}_1\text{,}$ $D_1{B}_2{B}_1\text{,}$ $D_1{C}_2{C}_1\text{.}$ Значит, равны отрезки $D_1{A}_2\text{,}$ $D_1{B}_2\text{,}$ $D_1{C}_2\text{,}$ то есть $D_1$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC\text{.}$ При этом $D_1$ — это ортоцентр $ABC\text{.}$ Стало быть, треугольник $ABC$ правильный. Поскольку углы $D_1{A}_2{A}_1\text{,}$ $D_1{B}_2{B}_1\text{,}$ $D_1{C}_2{C}_1$ равны, $D{D}_1$ — высота пирамиды. Опустим из $A_1$ перпендикуляр $A_1{D}_2$ на $D{D}_1\text{.}$ Тогда радиус окружности, описанной около треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{,}$ равен $A_1{D}_2\text{.}$ Радиус же окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ равен $A{D}_1\text{.}$ Получаем, что $A_2{D}_1=\frac{1}{2}A{D}_1=\frac{1}{2}\cdot 4A_1{D}_2=2A_1{D}_2\text{.}$ Отсюда видим, что $\angle D_1{A}_2{A}_1=60^{\circ }\text{.}$ Стало быть, $D{D}_1=\sqrt{3}\cdot A_2{D}_1=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\cdot O{D}_1=3O{D}_1\text{.}$ Получаем, что искомое отношение равно $(D{D}_1-2O{D}_1):2O{D}_1=1:2\text{.}$