Вписанная в треугольную пирамиду ABCD сфера касается граней BCD , ACD , ABD и ABC в точках A_1 , B_1 , C_1 и D_1 соответственно. Известно, что D_1 является точкой пересечения высот треугольника ABC , что плоскости ABC и A_1B_1C_1 параллельны и что радиус окружности, описанной около треугольника ABC , в четыре раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника A_1B_1C_1 . Найдите отношение, в котором сфера делит отрезок DD_1 , считая от вершины D .

Пусть O — центр сферы и пусть A_2 , B_2 , C_2 — основания высот треугольника ABC , опущенных из вершин A , B , C соответственно. Рассмотрим четырёхугольники OA_1A_2D_1 , OB_1B_2D_1 , OC_1C_2D_1 . Каждый из них состоит из двух равных прямоугольных треугольников. При этом катеты OD_1 , OA_1 , OB_1 , OC_1 равны. Из равенства расстояний от A_1 , B_1 , C_1 до плоскости ABC следует, что равны углы D_1OA_1 , D_1OB_1 , D_1OC_1 , а стало быть, равны и углы D_1A_2A_1 , D_1B_2B_1 , D_1C_2C_1 . Значит, равны отрезки D_1A_2 , D_1B_2 , D_1C_2 , то есть D_1 является точкой пересечения биссектрис треугольника ABC . При этом D_1 — это ортоцентр ABC . Стало быть, треугольник ABC правильный. Поскольку углы D_1A_2A_1 , D_1B_2B_1 , D_1C_2C_1 равны, DD_1 — высота пирамиды. Опустим из A_1 перпендикуляр A_1D_2 на DD_1 . Тогда радиус окружности, описанной около треугольника A_1B_1C_1 , равен A_1D_2 . Радиус же окружности, описанной около треугольника ABC , равен AD_1 . Получаем, что A_2D_1 = (1)/(2) AD_1 = (1)/(2) * 4A_1D_2 = 2A_1D_2 . Отсюда видим, что D_1A_2A_1 = 60^ . Стало быть, DD_1 = sqrt(3) * A_2D_1 = sqrt(3) * sqrt(3) * OD_1 = 3OD_1 . Получаем, что искомое отношение равно (DD_1 - 2OD_1) : 2OD_1 = 1 : 2 .

1 : 2