Задача №17908

Окружность касается середины стороны $AC$ треугольника $ABC$ и пересекает сторону $BC$ в точках $K$ и $L\text{,}$ так что $BK=KL=LC\text{.}$ Чему может равняться радиус окружности, если $\angle ABC=45^{\circ }$ и $AB=1\text{?}$

Поместим вершину $B$ в начало координат, а сторону $BC$ направим по оси $Ox\text{.}$ Так как $\angle ABC=45^{\circ }$ и $AB=1\text{,}$ то

где $a=BC>0$ — пока неизвестно.

Точки пересечения окружности со стороной $BC$ лежат на оси $Ox\text{.}$ Условие $BK=KL=LC$ делит отрезок $BC$ на три равные части, поэтому

Так как $K$ и $L$ — концы хорды на оси $Ox\text{,}$ центр окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $KL\text{,}$ то есть имеет абсциссу $\frac{a/3+2a/3}{2}=\frac{a}{2}\text{.}$ Положим $O=\left(\frac{a}{2},k\right)\text{.}$

Окружность касается стороны $AC$ в её середине $M\text{;}$ значит точка касания

лежит на окружности, причём радиус $OM$ перпендикулярен прямой $AC\text{.}$

Запишем два условия.

1) Перпендикулярность $\overrightarrow{OM}\perp \overrightarrow{AC}\text{.}$ Имеем $\overrightarrow{AC}=\left(a-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\text{,}$ $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4}-k\right)\text{.}$ Раскрывая скалярное произведение и упрощая, получаем

2) Равенство радиусов $|OK|=|OM|\text{.}$ Поскольку $|OK{|}^2={\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{3}\right)}^2+k^2=\frac{a^2}{36}+k^2\text{,}$ а из равенства $|OK{|}^2=|OM{|}^2$ после упрощения следует

Из (1) выразим $k=\frac{\sqrt{2}-a}{2}$ и подставим в (2):

Отсюда

Оба корня положительны ($a\approx 0,751$ и $a\approx 11,976$), а при любом $a>0$ точки $K,L$ лежат строго внутри стороны $BC$ (между $B$ и $C$), и середина $M$ лежит на стороне $AC\text{.}$ Значит обе конфигурации допустимы.

Радиус найдём как $R^2=\frac{a^2}{36}+k^2\text{.}$ Удобнее воспользоваться (2): $\frac{a^2}{36}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}k\text{,}$ тогда

Подставляя оба значения $a\text{,}$ получаем

Так как $3-\sqrt{7}>0\text{,}$ оба радиуса положительны: