Задача №17907

Решите уравнение ${\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|=4{\log }_{|5x-1|}\sqrt{x+1}\text{.}$

Решаем уравнение ${\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|=4{\log }_{|5x-1|}\sqrt{x+1}\text{.}$

ОДЗ. Основание $\sqrt{x+1}$ требует $x+1>0$ и $\sqrt{x+1}\ne 1\text{,}$ то есть $x>-1$ и $x\ne 0\text{.}$ Основание $|5x-1|$ (стоит в основании логарифма справа) требует $|5x-1|>0$ и $|5x-1|\ne 1\text{,}$ то есть $5x-1\ne 0$ и $5x-1\ne \pm 1\text{,}$ то есть $x\ne \frac{1}{5}\text{,}$ $x\ne 0\text{,}$ $x\ne \frac{2}{5}\text{.}$ Аргумент $|5x-1|>0$ уже обеспечен. Итог ОДЗ: $x>-1\text{,}$ $x\notin \left\{0,\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right\}\text{.}$

Замена. По формуле перехода к новому основанию на ОДЗ величины ${\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|$ и ${\log }_{|5x-1|}\sqrt{x+1}$ взаимно обратны. Обозначим $t={\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|\text{;}$ тогда ${\log }_{|5x-1|}\sqrt{x+1}=\frac{1}{t}$ (на ОДЗ $t\ne 0\text{,}$ так как $|5x-1|\ne 1$). Уравнение принимает вид

Случай $t=2\text{.}$ ${\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|=2\Rightarrow |5x-1|=(\sqrt{x+1}{)}^2=x+1\text{.}$

• $5x-1=x+1\Rightarrow 4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}\text{.}$
• $-(5x-1)=x+1\Rightarrow -6x=0\Rightarrow x=0$ — исключается по ОДЗ.

Случай $t=-2\text{.}$ ${\log }_{\sqrt{x+1}}|5x-1|=-2\Rightarrow |5x-1|=(\sqrt{x+1}{)}^{-2}=\frac{1}{x+1}\text{,}$ причём $x+1>0\text{.}$ Умножаем на $x+1>0\text{:}$ $|5x-1|(x+1)=1\text{.}$

• $5x-1=\frac{1}{x+1}\Rightarrow (5x-1)(x+1)=1\Rightarrow 5x^2+4x-2=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{14}}{5}\text{.}$ Корень $x=\frac{-2-\sqrt{14}}{5}\approx -1,15<-1$ не входит в ОДЗ; корень $x=\frac{-2+\sqrt{14}}{5}\approx 0,348$ подходит.
• $-(5x-1)=\frac{1}{x+1}\Rightarrow (1-5x)(x+1)=1\Rightarrow -5x^2-4x+1=1\Rightarrow 5x^2+4x=0\Rightarrow x\in \{0,-\frac{4}{5}\}\text{.}$ Здесь $x=0$ исключается по ОДЗ, а $x=-\frac{4}{5}$ подходит (тогда $|5x-1|=5>0,\ne 1\text{,}$ $\sqrt{x+1}=\sqrt{1/5}\ne 1$).

Проверка корней (все на ОДЗ и удовлетворяют исходному уравнению).

• $x=\frac{1}{2}\text{:}$ основание $\sqrt{3/2}\text{,}$ $|5x-1|=3/2\text{;}$ ${\log }_{\sqrt{3/2}}\frac{3}{2}=2\text{,}$ $4{\log }_{3/2}\sqrt{3/2}=4\cdot \frac{1}{4}=...=2\text{.}$ Верно.
• $x=-\frac{4}{5}\text{:}$ $\sqrt{x+1}=\sqrt{1/5}\text{,}$ $|5x-1|=5\text{;}$ ${\log }_{\sqrt{1/5}}5=-2\text{,}$ а $4{\log }_5\sqrt{1/5}=-2\text{.}$ Верно.
• $x=\frac{-2+\sqrt{14}}{5}\text{:}$ обе части равны $-2\text{.}$ Верно.

Ответ. $x=-\frac{4}{5},\frac{-2+\sqrt{14}}{5},\frac{1}{2}\text{.}$