Задача №18706

Решите уравнение

$${\log }_9(x+16)={\log }_3(x-4).$$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите произведение всех корней.

Область допустимых значений задаётся условием

$$x-4>0,$$

то есть $x>4\text{.}$ Поскольку $9=3^2\text{,}$ получаем

$$\frac{1}{2}{\log }_3(x+16)={\log }_3(x-4).$$

Следовательно,

$${\log }_3(x+16)={\log }_3((x-4{)}^2),$$

откуда

$$x+16=(x-4{)}^2.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2-9x=0,$$ $$x=0\text{или}x=9.$$

Значение $x=0$ не удовлетворяет области допустимых значений. Поэтому уравнение имеет единственный корень $x=9\text{.}$