Задача №17903

Найдите все пары $(\alpha ,\beta )\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\frac{4-3\cos \alpha }{2-\cos 2\alpha }+\frac{2-\cos 2\alpha }{2{\beta }^4+{\beta }^2+1}+\frac{2{\beta }^4+{\beta }^2+1}{|\beta |+1}+\frac{|\beta |+1}{4-3\cos \alpha }.$$

Обозначим четыре положительные величины

$$A=4-3\cos \alpha ,B=2-\cos 2\alpha ,C=2{\beta }^4+{\beta }^2+1,D=|\beta |+1.$$

Тогда выражение есть циклическая сумма

$$S=\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{D}+\frac{D}{A}.$$

Положительность всех знаменателей и числителей. Так как $\cos \alpha \in [-1,1]\text{,}$ то $A=4-3\cos \alpha \in [1,7]>0\text{;}$ используя $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1\text{,}$ получаем $B=3-2{\cos }^2\alpha \in [1,3]>0\text{.}$ Далее $C=2{\beta }^4+{\beta }^2+1\ge 1>0$ и $D=|\beta |+1\ge 1>0\text{.}$ Значит, все четыре дроби положительны.

Оценка снизу (AM--GM). Для положительных слагаемых по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

$$S=\frac{A}{B}+\frac{B}{C}+\frac{C}{D}+\frac{D}{A}\ge 4\sqrt[4]{\frac{A}{B}\cdot \frac{B}{C}\cdot \frac{C}{D}\cdot \frac{D}{A}}=4\sqrt[4]{1}=4,$$

поскольку произведение дробей равно $1\text{.}$ Итак, $S\ge 4$ при всех допустимых $\alpha ,\beta \text{.}$

Условие равенства. Равенство в AM--GM достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны:

$$\frac{A}{B}=\frac{B}{C}=\frac{C}{D}=\frac{D}{A}=q.$$

Перемножая, получаем $q^4=1\text{;}$ так как все дроби положительны, $q>0\text{,}$ откуда $q=1\text{.}$ Следовательно, равенство $S=4$ равносильно условию

$$A=B=C=D.$$

Решение системы $A=B=C=D\text{.}$

1) $A=B\text{.}$ $4-3\cos \alpha =3-2{\cos }^2\alpha \text{,}$ то есть $2{\cos }^2\alpha -3\cos \alpha +1=0\text{,}$ откуда $(2\cos \alpha -1)(\cos \alpha -1)=0$ и $\cos \alpha =\frac{1}{2}$ либо $\cos \alpha =1\text{.}$ При этом общее значение равно $A=B=\frac{5}{2}$ (если $\cos \alpha =\frac{1}{2}$) или $A=B=1$ (если $\cos \alpha =1$).

2) $C=D\text{.}$ Пусть $t=|\beta |\ge 0\text{.}$ Тогда $2t^4+t^2+1=t+1\text{,}$ то есть $2t^4+t^2-t=0\text{,}$ $t(2t^3+t-1)=0\text{.}$ Корень $t=0$ даёт $C=D=1\text{.}$ Множитель $2t^3+t-1=0$ имеет единственный положительный корень $t_0\approx 0,5898\text{,}$ при котором $C=D=t_0+1\approx 1,59\text{.}$

3) Согласование значений. Нужно $A=B=C=D$ с одним общим значением. Возможные значения левой пары — $\{\frac{5}{2},1\}\text{;}$ правой пары — $\{1,\approx 1,59\}\text{.}$ Совпадает лишь значение $1\text{:}$ $A=B=1$ (при $\cos \alpha =1$) и $C=D=1$ (при $t=|\beta |=0$). Случай $A=B=\frac{5}{2}$ невозможен (нет такого значения у $C=D$); случай $C=D\approx 1,59$ невозможен (нет такого значения у $A=B$).

Ответ к системе. $\cos \alpha =1\Rightarrow \alpha =2\pi n,n\in \mathbb{Z};|\beta |=0\Rightarrow \beta =0.$

Проверка. При $\alpha =2\pi n,\beta =0\text{:}$ $A=4-3=1\text{,}$ $B=2-1=1\text{,}$ $C=0+0+1=1\text{,}$ $D=0+1=1\text{,}$ поэтому

$$S=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=4,$$

что совпадает с найденной нижней гранью. Минимум $S=4$ достигается и только в этих точках.

Ответ: минимум равен $4$ и достигается при $\alpha =2\pi n,n\in \mathbb{Z},\beta =0\text{.}$