Задача №17902

В правильную треугольную призму с основаниями $ABC\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ и рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }$ вписана сфера радиуса $\sqrt{13}\text{.}$ Найдите расстояние между прямыми $AE$ и $BD\text{,}$ где $E$ и $D$ — точки, лежащие на $A^{\prime }{B}^{\prime }$ и $B^{\prime }{C}^{\prime }$ соответственно, и $A^{\prime }E:E{B}^{\prime }=B^{\prime }D:D{C}^{\prime }=1:2\text{.}$

Правильная треугольная призма: основания $ABC\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ — равносторонние треугольники со стороной $a\text{,}$ боковые рёбра перпендикулярны основаниям, высота призмы $h\text{.}$

Параметры из вписанной сферы. Сфера касается обоих оснований, значит её диаметр равен высоте: $h=2r\text{.}$ Сфера касается всех трёх боковых граней, значит её экваториальная окружность совпадает со вписанной окружностью основания, то есть радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен $r\text{:}$

При $r=\sqrt{13}\text{:}$ $h=2\sqrt{13}\text{,}$ $a=2\sqrt{3}\cdot \sqrt{13}=2\sqrt{39}\text{.}$

Координаты. Возьмём основание в плоскости $z=0\text{:}$

а верхнее основание — сдвиг на $(0,0,h)\text{:}$ $A^{\prime }=(0,0,h)\text{,}$ $B^{\prime }=(a,0,h)\text{,}$ $C^{\prime }=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},h\right)\text{.}$

Точки $E$ и $D\text{.}$ Условие $A^{\prime }E:E{B}^{\prime }=1:2$ даёт $E=A^{\prime }+\frac{1}{3}(B^{\prime }-A^{\prime })\text{;}$ условие $B^{\prime }D:D{C}^{\prime }=1:2$ даёт $D=B^{\prime }+\frac{1}{3}(C^{\prime }-B^{\prime })\text{:}$

Прямые. Направляющие векторы:

Векторное произведение

Связующий вектор $\vec{w}=\overrightarrow{AB}=(a,0,0)=(2\sqrt{39},0,0)\text{.}$ Тогда

Расстояние между скрещивающимися прямыми:

Прямые скрещиваются ($\vec{u}\times \vec{v}\ne 0$ и $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})\ne 0$), поэтому формула применима. Ответ: $d=6\text{.}$