Дан тетраэдр ABCD . Известно, что AB = BC = CD = 5 и CA = AD = DB = 6 . Найдите косинус угла между рёбрами BC и AD .

Рассмотрим треугольник ABC . Высота, опущенная из вершины B , равна 4, следовательно, высота AH , опущенная из вершины A , равна 24/5. Отсюда получаем CH = 18/5 , BH = 7/5 . Пусть M — середина BC . Тогда MH = 5/2 - 7/5 = 11/10 . Пусть N — середина AD . Тогда BN = CN и, стало быть, MN BC . Аналогично, MN AD . Рассмотрим плоскость, содержащую BC и параллельную AD . Спроецируем ортогонально на эту плоскость точки A и D . Полученные точки обозначим A' и D' . Точка N при этом проецируется в точку M . Стало быть, искомый угол равен A'MB . Из прямоугольного треугольника A'MH получаем cos A'MB = cos A'MH = (MH)/(A'M) = (MH)/(AD/2) = (11)/(30).

11/30