Задача №17506

Дан тетраэдр $ABCD\text{.}$ Известно, что $AB=BC=CD=5$ и $CA=AD=DB=6\text{.}$ Найдите косинус угла между рёбрами $BC$ и $AD\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABC\text{.}$ Высота, опущенная из вершины $B\text{,}$ равна 4, следовательно, высота $AH\text{,}$ опущенная из вершины $A\text{,}$ равна 24/5. Отсюда получаем $CH=18/5\text{,}$ $BH=7/5\text{.}$ Пусть $M$ — середина $BC\text{.}$ Тогда $MH=5/2-7/5=11/10\text{.}$
Пусть $N$ — середина $AD\text{.}$ Тогда $BN=CN$ и, стало быть, $MN\perp BC\text{.}$ Аналогично, $MN\perp AD\text{.}$ Рассмотрим плоскость, содержащую $BC$ и параллельную $AD\text{.}$ Спроецируем ортогонально на эту плоскость точки $A$ и $D\text{.}$ Полученные точки обозначим $A^{\prime }$ и $D^{\prime }\text{.}$ Точка $N$ при этом проецируется в точку $M\text{.}$ Стало быть, искомый угол равен $\angle A^{\prime }MB\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $A^{\prime }MH$ получаем