Задача №17899

Решите уравнение ${\log }_x|3x^2-4|=4{\log }_{|3x^2-4|}x\text{.}$

ОДЗ. Основания логарифмов должны быть положительны и отличны от $1\text{:}$

В частности, отрицательные значения и $x=1$ исключаются сразу.

Обозначим $t={\log }_x|3x^2-4|\text{.}$ В области ОДЗ обе величины определены и $t\ne 0\text{,}$ а по формуле перехода к новому основанию

Уравнение принимает вид

Случай $t=2:{\log }_x|3x^2-4|=2\Rightarrow |3x^2-4|=x^2.$

По ОДЗ остаётся только $x=\sqrt{2}$ (значения $-\sqrt{2}\text{,}$ $\pm 1$ отброшены: $x\le 0$ либо $x=1\text{,}$ причём при $x=\pm 1$ ещё и $|3x^2-4|=1$).

Случай $t=-2:{\log }_x|3x^2-4|=-2\Rightarrow |3x^2-4|=\frac{1}{x^2}\Rightarrow |3x^2-4|x^2=1.$

Подслучай $3x^2-4\ge 0:(3x^2-4)x^2=1\Rightarrow 3x^4-4x^2-1=0\Rightarrow x^2=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$ (корень $\frac{2-\sqrt{7}}{3}<0$ отброшен), откуда $x=\sqrt{\frac{2+\sqrt{7}}{3}}$ (отрицательный отброшен по ОДЗ). Проверка совместности: $x^2=\frac{2+\sqrt{7}}{3}>\frac{4}{3}\text{,}$ значит $3x^2-4>0$ — подслучай согласован, и $|3x^2-4|\approx 0.646\ne 1\text{.}$

Подслучай $3x^2-4<0:-(3x^2-4)x^2=1\Rightarrow 3x^4-4x^2+1=0\Rightarrow (3x^2-1)(x^2-1)=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{3}$ или $x^2=1\text{.}$ Значение $x^2=1$ даёт $x=\pm 1$ (отброшено по ОДЗ), а $x^2=\frac{1}{3}$ даёт $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (отрицательный отброшен). Проверка: при $x^2=\frac{1}{3}$ имеем $3x^2-4=-3<0$ — подслучай согласован, $|3x^2-4|=3\ne 1\text{.}$

Все три уцелевших корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0,x\ne 1,|3x^2-4|\notin \{0,1\}$) и проверены подстановкой в исходное уравнение.

Ответ: $x=\frac{\sqrt{3}}{3},x=\sqrt{2},x=\sqrt{\frac{2+\sqrt{7}}{3}}.$