В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна sqrt(2). Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.

Пусть ABC и A'B'C' — основания призмы, AA', BB', CC' — её боковые рёбра. Поскольку все пары скрещивающихся диагоналей боковых граней переходят друг в друга при помощи поворотов относительно оси симметрии призмы и симметрий относительно вертикальных плоскостей симметрии, не ограничивая общности, можно взять диагонали AB' и BC'. Расстояние между прямыми AB' и BC' достигается на отрезке XY с концами на этих прямых, перпендикулярном им обеим. Проведём через точку B' прямую, параллельную BC'. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой CB через D. Отрезок XY перпендикулярен прямой BC' и плоскости AB'D. Следовательно, его длина равна расстоянию от точки B до плоскости AB'D. Остаётся найти это расстояние. Обозначим длину стороны основания через a, а высоту призмы через h. Рассмотрим три попарно ортогональные прямые — BD, BB' и , тоже проходящую через точку B. В соответствующей этим прямым системе координат плоскость AB'D задаётся уравнением (x)/(a)+(y)/(h)+(zsqrt(3))/(a)=1. Стало быть, нормаль к этой плоскости задаётся вектором ((1a,1h,sqrt(3)a))/(sqrt(4a^2+1h^2)). Умножая его скалярно на вектор (a,0,0), получаем, что расстояние от B до плоскости AB'D равно (ah)/(sqrt(a^2+4h^2)). Для a=1 и h=sqrt(2) получаем sqrt(2)/3.

\frac{\sqrt{2}}{3}