В основании прямой призмы лежит правильный треугольник со стороной 1. Высота призмы равна 2. Найдите расстояние между скрещивающимися диагоналями боковых граней.
Пусть ABC и A′B′C′ — основания призмы, AA′, BB′, CC′ — её боковые рёбра. Поскольку все пары скрещивающихся диагоналей боковых граней переходят друг в друга при помощи поворотов относительно оси симметрии призмы и симметрий относительно вертикальных плоскостей симметрии, не ограничивая общности, можно взять диагонали AB′ и BC′.
Расстояние между прямыми AB′ и BC′ достигается на отрезке XY с концами на этих прямых, перпендикулярном им обеим. Проведём через точку B′ прямую, параллельную BC′. Обозначим точку пересечения этой прямой с прямой CB через D. Отрезок XY перпендикулярен прямой BC′ и плоскости AB′D. Следовательно, его длина равна расстоянию от точки B до плоскости AB′D. Остаётся найти это расстояние.
Обозначим длину стороны основания через a, а высоту призмы через h. Рассмотрим три попарно ортогональные прямые — BD, BB′ и ℓ, тоже проходящую через точку B. В соответствующей этим прямым системе координат плоскость AB′D задаётся уравнением
Стало быть, нормаль к этой плоскости задаётся вектором
a24+h21(a1,h1,a3).Умножая его скалярно на вектор (a,0,0), получаем, что расстояние от B до плоскости AB′D равно
a2+4h2ah.Для a=1 и h=2 получаем 2/3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ