Задача №17668

Плоскость $\pi$ перпендикулярна ребру $SA$ правильной треугольной пирамиды $ABCS$ с вершиной $S$ и основанием $ABC\text{,}$ делит это ребро в отношении $1:2$ (считая от вершины $S$) и проходит через середину ребра $SB\text{.}$ Найдите угол между плоскостью $\pi$ и плоскостью основания пирамиды.

Искомый угол равен углу между $SA$ и нормалью к плоскости $ABC\text{,}$ то есть углу $\angle ASH\text{,}$ где $H$ — основание высоты пирамиды. Далее, поскольку $\pi \perp SA$ и $BC\perp SA\text{,}$ имеем $\pi \parallel BC\text{.}$ Стало быть, $\pi$ пересекает треугольник $BCS$ по средней линии, параллельной $BC\text{.}$ Пусть $K$ — точка пересечения $\pi$ и $SA\text{,}$ $L$ — точка пересечения $\pi$ с продолжением $AH\text{,}$ $M$ — точка пересечения $AL$ и $BC\text{,}$ $N$ — точка пересечения $LK$ и $SM\text{.}$ Тогда $AK=2KS\text{,}$ $SN=NM\text{,}$ откуда видим, что $LM=MA$ и $LH=2HA\text{.}$ При этом $\angle AKL=90^{\circ }\text{.}$ Из подобия треугольников $ALK$ и $ASH$ получаем:

откуда

то есть тангенс искомого угла равен $\sqrt{\frac{2}{7}}\text{.}$