Плоскость pi перпендикулярна ребру SA правильной треугольной пирамиды ABCS с вершиной S и основанием ABC, делит это ребро в отношении 1:2 (считая от вершины S) и проходит через середину ребра SB. Найдите угол между плоскостью pi и плоскостью основания пирамиды.

Искомый угол равен углу между SA и нормалью к плоскости ABC, то есть углу ASH, где H — основание высоты пирамиды. Далее, поскольку pi SA и BC SA, имеем pi BC. Стало быть, pi пересекает треугольник BCS по средней линии, параллельной BC. Пусть K — точка пересечения pi и SA, L — точка пересечения pi с продолжением AH, M — точка пересечения AL и BC, N — точка пересечения LK и SM. Тогда AK=2KS, SN=NM, откуда видим, что LM=MA и LH=2HA. При этом AKL=90^. Из подобия треугольников ALK и ASH получаем: (AH)/(sqrt(AH^2+SH^2))=(23sqrt(AH^2+SH^2))/(3AH), откуда (AH)/(SH)=sqrt((2)/(7)), то есть тангенс искомого угла равен sqrt((2)/(7)).

\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{2}{7}}\ \left(=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}\right)