Задача №17826

Решите неравенство

$$12{\left(3+3^{-2x}\right)}^{-1/2}-{\left(3^{1+2x}+1\right)}^{1/2}⩾4\cdot 3^{x/2}.$$

ОДЗ. Основания степеней положительны при всех $x\text{:}$ $3+3^{-2x}>0$ и $3^{1+2x}+1>0\text{.}$ Значит, область определения — вся прямая $\mathbb{R}\text{.}$

Сведение. Положим $t=3^x>0\text{.}$ Тогда $3^{-2x}=t^{-2}\text{,}$ $3^{1+2x}=3t^2\text{,}$ $3^{x/2}=\sqrt{t}\text{,}$ и

$$12{\left(3+t^{-2}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{12}{\sqrt{3+t^{-2}}}=\frac{12t}{\sqrt{3t^2+1}},{\left(3^{1+2x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3t^2+1}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{12t}{\sqrt{3t^2+1}}-\sqrt{3t^2+1}⩾4\sqrt{t}.$$

Приводя левую часть к общему знаменателю $\sqrt{3t^2+1}>0\text{,}$ получаем

$$\frac{12t-(3t^2+1)}{\sqrt{3t^2+1}}⩾4\sqrt{t}.$$

Ключевая факторизация. Обозначим $u=\sqrt{t}=3^{x/2}>0$ и $s=\sqrt{3u^4+1}>0$ (так что $t=u^2\text{,}$ $3t^2+1=3u^4+1=s^2$). Числитель равен $12u^2-s^2\text{,}$ а правая часть после умножения на $s>0$ даёт $4us\text{.}$ Неравенство равносильно

$$12u^2-s^2⩾4us⟺s^2+4us-12u^2⩽0⟺(s-2u)(s+6u)⩽0.$$

Так как $s>0,u>0\text{,}$ множитель $s+6u>0\text{,}$ поэтому неравенство равносильно $s⩽2u\text{,}$ то есть

$$\sqrt{3u^4+1}⩽2u.$$

Возведение в квадрат. Правая часть $2u>0\text{,}$ левая неотрицательна, значит возведение в квадрат равносильно:

$$3u^4+1⩽4u^2⟺3u^4-4u^2+1⩽0⟺(u^2-1)(3u^2-1)⩽0.$$

Это даёт $\frac{1}{3}⩽u^2⩽1\text{.}$ Поскольку $u^2=t=3^x\text{,}$ получаем

$$\frac{1}{3}⩽3^x⩽1⟺3^{-1}⩽3^x⩽3^0⟺-1⩽x⩽0.$$

Края и посторонние корни. На концах $x=-1$ ($u^2=1/3$) и $x=0$ ($u^2=1$) множитель $(u^2-1)(3u^2-1)=0\text{,}$ то есть $s=2u$ — равенство достигается, и из-за нестрогого $⩾$ концы входят в ответ. Все равносильные переходы (умножение на положительные $\sqrt{3t^2+1}$ и $s\text{,}$ возведение в квадрат неотрицательных частей) обратимы, поэтому посторонних корней нет. ОДЗ — вся прямая, дополнительных ограничений не вносит.

Ответ: $-1⩽x⩽0\text{.}$