Задача №17862

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 1. Высота призмы равна $\sqrt{7}\text{.}$ Найдите расстояние между большой диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани.

Введём прямоугольную систему координат с началом в одной из вершин основания. Основание — квадрат со стороной 1, высота призмы $\sqrt{7}\text{:}$

Большая (пространственная) диагональ призмы — это $A{C}_1$ с направляющим вектором

Диагонали боковых граней, выходящие из вершины $A$ или приходящие в $C_1$ (например $A{B}_1\text{,}$ $A{D}_1\text{,}$ $B{C}_1\text{,}$ $D{C}_1$), пересекают $A{C}_1$ (имеют с ней общую точку или лежат с ней в одной плоскости), поэтому скрещивающимися не являются. Возьмём диагональ боковой грани $BC{C}_1{B}_1\text{,}$ скрещивающуюся с $A{C}_1\text{:}$ это $B_{1}C$ с направляющим вектором

Проверим, что прямые $A{C}_1$ и $B_{1}C$ действительно скрещиваются: система $A+s\overrightarrow{d_1}=B_1+t\overrightarrow{d_2}$ несовместна (вектор $B_1-A=(1,0,\sqrt{7})$ не лежит в плоскости $⟨\overrightarrow{d_1},\overrightarrow{d_2}⟩$), значит общей точки нет.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине проекции вектора, соединяющего точки прямых, на общий перпендикуляр $\vec{n}=\overrightarrow{d_1}\times \overrightarrow{d_2}\text{:}$

Соединяющий вектор: $\overrightarrow{A{B}_1}=B_1-A=(1,0,\sqrt{7})\text{.}$ Тогда

В силу симметрии квадратного основания любая боковая диагональ, скрещивающаяся с $A{C}_1$ (а это $A_{1}B\text{,}$ $B_{1}C\text{,}$ $C_{1}D\text{,}$ $D_{1}A$), даёт то же расстояние $\frac{\sqrt{7}}{6}\text{.}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{6}\text{.}$