Задача №17850

Найдите все положительные $x\text{,}$ удовлетворяющие неравенству $x^{3x+7}>x^{12}\text{.}$

Так как по условию $x>0\text{,}$ степени $x^{3x+7}$ и $x^{12}$ определены, причём $x^{12}>0\text{.}$ Поделив обе части на $x^{12}\text{,}$ приходим к равносильному неравенству

Для положительного основания $x$ знак разности $x^t-1$ при показателе $t$ определяется сравнением с единицей: при $x>0,x\ne 1$ имеем $x^t=e^{t\ln x}\text{,}$ поэтому

а случай $x=1$ даёт $1^t=1$ и неравенству не удовлетворяет. Применяя это к $t=3x-5\text{,}$ получаем

Заметим, что для (x>0$множители$\ln x$и$x-1$всюдуимеютодинаковыйзнак(обаотрицательныпри$0<x<1\text{,}$обаположительныпри$x>1$иобращаютсявнульпри$x=1$).Поэтомунеравенство$(3x-5)\ln x>0$равносильнонеравенству$(3x-5)(x-1)>0\text{,}$исучётом$x>0$ исходное неравенство принимает вид

Квадратичная относительно (x$функция$(3x-5)(x-1)$имееткорни$x=1$и$x=\dfrac{5}{3}$ и положительный старший коэффициент, поэтому она положительна вне отрезка между корнями:

Пересекая с условием $x>0\text{,}$ получаем

Проверим границы. При $x=1$ обе части исходного неравенства равны $1\text{,}$ строгое неравенство не выполнено. При $x=\frac{5}{3}$ показатель $3x-5=0\text{,}$ так что $x^{3x-5}=1$ и неравенство также обращается в равенство. Обе крайние точки исключаются, что согласуется с открытыми интервалами в ответе.

Ответ: $x\in (0,1)\cup \left(\frac{5}{3},+\infty \right)\text{.}$