Решите неравенство ([3]7)^(35x)>(1)/(7)* 7^(|4x^2-12x-1|).

Приведём обе части неравенства к степеням одного основания 7 . В левой части ([3]7)^(35x)=(7^(1/3))^(35x)=7^((35x)/(3)). В правой части (1)/(7)* 7^(|4x^2-12x-1|)=7^(-1)* 7^(|4x^2-12x-1|)=7^(|4x^2-12x-1|-1). Таким образом, неравенство равносильно 7^((35x)/(3))>7^(|4x^2-12x-1|-1). Поскольку основание 7>1 , показательная функция строго возрастает, и неравенство между степенями равносильно такому же неравенству между показателями: (35x)/(3)>|4x^2-12x-1|-1, то есть |4x^2-12x-1|<(35x)/(3)+1. Обозначим g(x)=4x^2-12x-1 и f(x)=(35x)/(3)+1 . Так как |g(x)|>= 0, то выполнение неравенства |g(x)|<f(x) автоматически влечёт f(x)>0 ; отдельно условие f(x)>0 выписывать не нужно — оно учтётся при раскрытии модуля. Раскроем модуль по знаку g(x) . Квадратный трёхчлен g(x)=4x^2-12x-1 имеет дискриминант D=144+16=160>0 и корни x=(12+-sqrt(160))/(8)=(3+-sqrt(10))/(2)~ -0,081 и 3,081 . Значит g(x)>= 0 при x<=(3-sqrt(10))/(2) или x>=(3+sqrt(10))/(2) , и g(x)<0 на интервале между корнями. **Случай A: g(x)>= 0 ** (то есть x<=(3-sqrt(10))/(2) или x>=(3+sqrt(10))/(2) ). Тогда |g(x)|=g(x), и неравенство принимает вид 4x^2-12x-1<(35x)/(3)+1. Умножим на 3 и перенесём всё влево: 12x^2-36x-3<35x+3 12x^2-71x-6<0. Корни трёхчлена 12x^2-71x-6 : дискриминант 71^2+4*12*6=5041+288=5329=73^2 , откуда x=(71+- 73)/(24) , то есть x=-(1)/(12) и x=6 . Парабола с положительным старшим коэффициентом отрицательна между корнями, поэтому -(1)/(12)<x<6. Пересекаем с областью случая A. Имеем (3-sqrt(10))/(2)~ -0,081 , а -(1)/(12)~ -0,083 , причём -(1)/(12)<(3-sqrt(10))/(2) (проверка: -(1)/(12)<(3-sqrt(10))/(2) sqrt(10)<3+(1)/(6)=(19)/(6) 10<(361)/(36)~ 10,03 — верно). Поэтому левая часть области A даёт -(1)/(12)<x<=(3-sqrt(10))/(2), а правая часть области A ( x>=(3+sqrt(10))/(2)~ 3,081 ) пересечённая с x<6 даёт (3+sqrt(10))/(2)<= x<6. Итого в случае A: xin(-(1)/(12);(3-sqrt(10))/(2)]U[(3+sqrt(10))/(2);6) . **Случай B: g(x)<0 ** (то есть (3-sqrt(10))/(2)<x<(3+sqrt(10))/(2) ). Тогда |g(x)|=-g(x)=-4x^2+12x+1, и неравенство принимает вид -4x^2+12x+1<(35x)/(3)+1. Умножим на 3 : -12x^2+36x+3<35x+3 0<12x^2-x x(12x-1)>0. Это выполняется при x<0 или x>(1)/(12) . Пересекаем с областью случая B ( (3-sqrt(10))/(2)<x<(3+sqrt(10))/(2) , т.е. примерно -0,081<x<3,081 ): (3-sqrt(10))/(2)<x<0 или (1)/(12)<x<(3+sqrt(10))/(2). **Объединение.** Сложим решения случаев A и B. На стыке x=(3-sqrt(10))/(2) интервалы (-(1)/(12);(3-sqrt(10))/(2)] (из A) и ((3-sqrt(10))/(2);0) (из B) склеиваются в (-(1)/(12);0). Аналогично на стыке x=(3+sqrt(10))/(2) интервалы ((1)/(12);(3+sqrt(10))/(2)) (из B) и [(3+sqrt(10))/(2);6) (из A) склеиваются в ((1)/(12);6). Окончательно xin(-(1)/(12);0)U((1)/(12);6). Концы -(1)/(12), 0, (1)/(12), 6 исключены: в каждом из них достигается равенство |4x^2-12x-1|=(35x)/(3)+1, а неравенство строгое.

\(\left(-\frac{1}{12};\,0\right)\cup\left(\frac{1}{12};\,6\right)\)