Задача №18059

Решите неравенство

$${\left(\sqrt[3]{7}\right)}^{35x}>\frac{1}{7}\cdot 7^{|4x^2-12x-1|}.$$

Приведём обе части неравенства к степеням одного основания $7\text{.}$

В левой части ${\left(\sqrt[3]{7}\right)}^{35x}={\left(7^{1/3}\right)}^{35x}=7^{35x/3}\text{.}$

В правой части $\frac{1}{7}\cdot 7^{|4x^2-12x-1|}=7^{-1}\cdot 7^{|4x^2-12x-1|}=7^{|4x^2-12x-1|-1}\text{.}$

Таким образом, неравенство равносильно

$$7^{35x/3}>7^{|4x^2-12x-1|-1}.$$

Поскольку основание $7>1\text{,}$ показательная функция строго возрастает, и неравенство между степенями равносильно такому же неравенству между показателями:

$$\frac{35x}{3}>\left|4x^2-12x-1\right|-1,$$

то есть

$$\left|4x^2-12x-1\right|<\frac{35x}{3}+1.$$

Обозначим $g(x)=4x^2-12x-1$ и $f(x)=\frac{35x}{3}+1\text{.}$ Так как $\left|g(x)\right|\ge 0\text{,}$ то выполнение неравенства $\left|g(x)\right|<f(x)$ автоматически влечёт $f(x)>0\text{;}$ отдельно условие $f(x)>0$ выписывать не нужно — оно учтётся при раскрытии модуля. Раскроем модуль по знаку $g(x)\text{.}$

Квадратный трёхчлен $g(x)=4x^2-12x-1$ имеет дискриминант $D=144+16=160>0$ и корни $x=\frac{12\pm \sqrt{160}}{8}=\frac{3\pm \sqrt{10}}{2}\approx -0,081\text{и}3,081\text{.}$ Значит $g(x)\ge 0$ при $x\le \frac{3-\sqrt{10}}{2}$ или $x\ge \frac{3+\sqrt{10}}{2}\text{,}$ и $g(x)<0$ на интервале между корнями.

Случай A: $g(x)\ge 0$ (то есть $x\le \frac{3-\sqrt{10}}{2}$ или $x\ge \frac{3+\sqrt{10}}{2}$). Тогда $\left|g(x)\right|=g(x)\text{,}$ и неравенство принимает вид

$$4x^2-12x-1<\frac{35x}{3}+1.$$

Умножим на $3$ и перенесём всё влево:

$$12x^2-36x-3<35x+3⟺12x^2-71x-6<0.$$

Корни трёхчлена $12x^2-71x-6\text{:}$ дискриминант $71^2+4\cdot 12\cdot 6=5041+288=5329=73^2\text{,}$ откуда $x=\frac{71\pm 73}{24}\text{,}$ то есть $x=-\frac{1}{12}$ и $x=6\text{.}$ Парабола с положительным старшим коэффициентом отрицательна между корнями, поэтому

$$-\frac{1}{12}<x<6.$$

Пересекаем с областью случая A. Имеем $\frac{3-\sqrt{10}}{2}\approx -0,081\text{,}$ а $-\frac{1}{12}\approx -0,083\text{,}$ причём $-\frac{1}{12}<\frac{3-\sqrt{10}}{2}$ (проверка: $-\frac{1}{12}<\frac{3-\sqrt{10}}{2}⟺\sqrt{10}<3+\frac{1}{6}=\frac{19}{6}⟺10<\frac{361}{36}\approx 10,03$ — верно). Поэтому левая часть области A даёт

$$-\frac{1}{12}<x\le \frac{3-\sqrt{10}}{2},$$

а правая часть области A ($x\ge \frac{3+\sqrt{10}}{2}\approx 3,081$) пересечённая с $x<6$ даёт

$$\frac{3+\sqrt{10}}{2}\le x<6.$$

Итого в случае A: $x\in \left(-\frac{1}{12};\frac{3-\sqrt{10}}{2}\right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{10}}{2};6\right)\text{.}$

Случай B: $g(x)<0$ (то есть $\frac{3-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{10}}{2}$). Тогда $\left|g(x)\right|=-g(x)=-4x^2+12x+1\text{,}$ и неравенство принимает вид

$$-4x^2+12x+1<\frac{35x}{3}+1.$$

Умножим на $3\text{:}$

$$-12x^2+36x+3<35x+3⟺0<12x^2-x⟺x(12x-1)>0.$$

Это выполняется при $x<0$ или $x>\frac{1}{12}\text{.}$ Пересекаем с областью случая B ($\frac{3-\sqrt{10}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{10}}{2}\text{,}$ т.е. примерно $-0,081<x<3,081$):

$$\frac{3-\sqrt{10}}{2}<x<0\text{или}\frac{1}{12}<x<\frac{3+\sqrt{10}}{2}.$$

Объединение. Сложим решения случаев A и B. На стыке $x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}$ интервалы $\left(-\frac{1}{12};\frac{3-\sqrt{10}}{2}\right]$ (из A) и $\left(\frac{3-\sqrt{10}}{2};0\right)$ (из B) склеиваются в $\left(-\frac{1}{12};0\right)\text{.}$ Аналогично на стыке $x=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$ интервалы $\left(\frac{1}{12};\frac{3+\sqrt{10}}{2}\right)$ (из B) и $\left[\frac{3+\sqrt{10}}{2};6\right)$ (из A) склеиваются в $\left(\frac{1}{12};6\right)\text{.}$ Окончательно

$$\boxed{x\in \left(-\frac{1}{12};0\right)\cup \left(\frac{1}{12};6\right).}$$

Концы $-\frac{1}{12},0,\frac{1}{12},6$ исключены: в каждом из них достигается равенство $\left|4x^2-12x-1\right|=\frac{35x}{3}+1\text{,}$ а неравенство строгое.