Задача №18607

Найдите целое число, заданное выражением

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}.$$

Свёртка вложенных радикалов. Представим каждое подкоренное выражение как полный квадрат:

$$7-4\sqrt{3}=4-4\sqrt{3}+3=(2-\sqrt{3}{)}^2,7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3}{)}^2.$$

Так как $2-\sqrt{3}>0$ и $2+\sqrt{3}>0\text{,}$ арифметические корни равны

$$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3},\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}.$$

Складываем: $(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})=4\text{.}$

Проверка возведением в квадрат. Пусть $S=\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}>0\text{.}$ Тогда

$$S^2=(7-4\sqrt{3})+(7+4\sqrt{3})+2\sqrt{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})}=14+2\sqrt{49-48}=14+2=16,$$

откуда $S=\sqrt{16}=4\text{.}$

Ответ: $4\text{.}$