Пусть
f(x,y)=−5x2−13y2−16xy+2+y, g(x,y)=−−5x2−13y2−16xy+2+y.Найдите все значения, которые может принимать хотя бы одна из этих функций.
Требуется найти множество всех значений, которые принимает хотя бы одна из функций f и g, то есть объединение их областей значений E(f)∪E(g).
Область определения. Обе функции определены там, где подкоренное выражение неотрицательно:
2−(5x2+16xy+13y2)≥0⟺Q(x,y):=5x2+16xy+13y2≤2.Матрица квадратичной формы (58813) имеет det=65−64=1>0 и положительный след, значит форма положительно определена. Поэтому область D={Q≤2} — замкнутый эллипс (компакт, выпукл, связен). Обозначим s(x,y)=2−Q≥0; тогда f=s+y, g=−s+y.
Симметрия. Так как Q чётна по (x,y), при замене (x,y)→(−x,−y) величина s не меняется, а y меняет знак. Поэтому
g(x,y)=−s+y=−(s+(−y))=−f(−x,−y).Отсюда E(g)=−E(f) (проверено символьно: g(x,y)+f(−x,−y)≡0). Достаточно найти E(f).
Область значений f. f непрерывна на связном компакте D, значит E(f)=[mf,Mf] — отрезок.
Максимум. Ищем внутренние критические точки (s>0): из fx=0, fy=0
fx=2s−(10x+16y)=0,fy=2s−(16x+26y)+1=0.Из первого 10x+16y=0⇒x=−58y. Подстановка даёт единственную точку (−383,353). В ней Q=35<2 (точка внутри D, s=31>0), и
f=31+353=31+35=36=23.Это единственная внутренняя критическая точка, и она даёт наибольшее значение: Mf=23.
Минимум. Внутри других критических точек нет, поэтому минимум достигается на границе Q=2, где s=0 и f=y. Экстремумы y на эллипсе Q=2 (метод Лагранжа ∇y=λ∇Q) дают y=±10. Значит на границе f=y∈[−10,10], и mf=−10.
Итого E(f)=[−10,23], а в силу симметрии E(g)=[−23,10].
Объединение. Поскольку 10≈3,162<23≈3,464, отрезки перекрываются на [−10,10], поэтому
E(f)∪E(g)=[−23,−10]∪[−10,10]∪[10,23]=[−23,23].Ответ: множество всех значений — отрезок [−23,23].
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ