Задача №17598

Дана правильная треугольная пирамида $ABCS$ с основанием $ABC$ и вершиной $S\text{.}$ Плоскость $\pi$ перпендикулярна ребру $AS$ и пересекает рёбра $AS\text{,}$ $BS$ в точках $D\text{,}$ $E$ соответственно. Известно, что $SD=AD$ и $SE=2BE\text{.}$ Найдите косинус угла между ребром $AS$ и плоскостью основания $ABC\text{.}$

Пусть $a$ — длина ребра основания и $b$ — длина бокового ребра. В прямоугольном треугольнике $SDE$ имеем $SD=\frac{1}{2}b$ и $SE=\frac{2}{3}b\text{.}$ Стало быть, $\cos \angle ASB=\frac{3}{4}\text{.}$ Применяя теорему косинусов к треугольнику $ASB\text{,}$ получаем, что $a^2=2b^2-2b^2\cdot \frac{3}{4}\text{,}$ откуда $b=a\sqrt{2}\text{.}$ Пусть $O$ — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $ASO$ имеем $AS=b=a\sqrt{2}$ и $AO=a/\sqrt{3}\text{.}$ Стало быть, $\cos \angle SAO=AO/AS=1/\sqrt{6}\text{.}$