Дана правильная треугольная пирамида ABCS с основанием ABC и вершиной S . Плоскость pi перпендикулярна ребру AS и пересекает рёбра AS , BS в точках D , E соответственно. Известно, что SD = AD и SE = 2BE . Найдите косинус угла между ребром AS и плоскостью основания ABC .

Пусть a — длина ребра основания и b — длина бокового ребра. В прямоугольном треугольнике SDE имеем SD = (1)/(2)b и SE = (2)/(3)b . Стало быть, cos ASB = (3)/(4) . Применяя теорему косинусов к треугольнику ASB , получаем, что a^2 = 2b^2 - 2b^2 * (3)/(4) , откуда b = asqrt(2) . Пусть O — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике ASO имеем AS = b = asqrt(2) и AO = a/sqrt(3) . Стало быть, cos SAO = AO/AS = 1/sqrt(6) .

1/\sqrt{6}