Задача №17534

Дан куб $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с основанием $ABCD$ и боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ Найдите расстояние между прямой, проходящей через середины рёбер $AB$ и $A{A}^{\prime }\text{,}$ и прямой, проходящей через середины рёбер $B{B}^{\prime }$ и $B^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ если ребро куба равно 1.

Заметим, что прямая, проходящая через середины рёбер $AB$ и $A{A}^{\prime }\text{,}$ лежит в плоскости, проходящей через центр куба и перпендикулярной диагонали $D{B}^{\prime }\text{.}$ Прямая же, проходящая через середины рёбер $B{B}^{\prime }$ и $B^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ лежит в плоскости, проходящей через середины рёбер $B{B}^{\prime }\text{,}$ $B^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ $A^{\prime }{B}^{\prime }\text{,}$ которая также перпендикулярна диагонали $D{B}^{\prime }\text{.}$ При этом эта плоскость делит диагональ $D{B}^{\prime }$ в отношении 1 : 5. Стало быть, искомое расстояние, равное расстоянию между рассмотренными двумя плоскостями, равно $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\right)D{B}^{\prime }=\sqrt{3}/3=1/\sqrt{3}\text{.}$