Задача №17861

Найдите все $x\text{,}$ $y$ на интервале $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{{\cos }^{3}x}+\frac{1}{{\sin }^{3}y}=16\\ {\mathrm{tg}}^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}y=6\end{array}$$

На интервале $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ имеем $\cos x>0$ и $\sin y>0\text{,}$ поэтому все выражения определены. Введём замену

$$a=\frac{1}{\cos x},b=\frac{1}{\sin y}.$$

Поскольку $0<\cos x\le 1$ и $0<\sin y\le 1$ (и равенство единице на открытом интервале не достигается), получаем строгие ограничения $a>1\text{,}$ $b>1\text{.}$

Преобразуем второе уравнение. Так как

$${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1=a^2-1,$$ $${\mathrm{ctg}}^{2}y=\frac{{\cos }^{2}y}{{\sin }^{2}y}=\frac{1-{\sin }^{2}y}{{\sin }^{2}y}=\frac{1}{{\sin }^{2}y}-1=b^2-1,$$

второе уравнение ${\mathrm{tg}}^{2}x+{\mathrm{ctg}}^{2}y=6$ принимает вид

$$a^2+b^2=8.$$

Первое уравнение есть в точности

$$a^3+b^3=16.$$

Итак, нужно решить систему

$$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=8\\ a^3+b^3=16\end{array}(a>1,b>1).$$

Положим $s=a+b\text{,}$ $p=ab\text{.}$ Тогда $a^2+b^2=s^2-2p=8\text{,}$ откуда $p=\frac{s^2-8}{2}\text{.}$ Далее

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=s((a^2+b^2)-p)=s(8-\frac{s^2-8}{2})=\frac{s(24-s^2)}{2}=16,$$

то есть

$$s^3-24s+32=0⟺(s-4)(s^2+4s-8)=0.$$

Корни: $s=4$ и $s=-2\pm 2\sqrt{3}\text{.}$

При $s=4\text{:}$ $p=\frac{16-8}{2}=4\text{,}$ значит $a$ и $b$ — корни уравнения $t^2-4t+4=0\text{,}$ то есть $a=b=2\text{.}$ Оба удовлетворяют $a,b>1\text{.}$

Корень $s=-2-2\sqrt{3}<0$ не годится, так как $a+b>0\text{.}$ Корень $s=-2+2\sqrt{3}\approx 1,46$ даёт $p=\frac{s^2-8}{2}=2-2\sqrt{3}<0\text{,}$ то есть произведение $ab<0\text{,}$ что невозможно при $a>1\text{,}$ $b>1\text{.}$ (Численно соответствующие значения $a\approx 2,59\text{,}$ $b\approx -1,13$ — отбрасываются условием $b>1\text{.}$)

Следовательно, единственное допустимое решение алгебраической системы — $a=b=2\text{.}$ Возвращаясь к замене:

$$\frac{1}{\cos x}=2\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right),$$ $$\frac{1}{\sin y}=2\Rightarrow \sin y=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\pi }{6}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right).$$

На указанном интервале каждое из уравнений $\cos x=\frac{1}{2}$ и $\sin y=\frac{1}{2}$ имеет ровно один корень, поэтому решение единственно.

Проверка подстановкой: $\frac{1}{{\cos }^3(\pi /3)}+\frac{1}{{\sin }^3(\pi /6)}=\frac{1}{(1/2{)}^3}+\frac{1}{(1/2{)}^3}=8+8=16\text{;}$ ${\mathrm{tg}}^2\frac{\pi }{3}+{\mathrm{ctg}}^2\frac{\pi }{6}=3+3=6\text{.}$ Оба уравнения выполнены.

Ответ: $x=\frac{\pi }{3},y=\frac{\pi }{6}\text{.}$