Решить систему cases_2(2x^3+4x^2y-3x^2)=_(11)(4xy^2+24y^3-12y^2), _(11)(x^3+6x^2y-3x^2)=_2(8xy^2+16y^3-12y^2).cases

**Разложение аргументов на множители.** Разложим все четыре выражения под логарифмами: 2x^3+4x^2y-3x^2=x^2(2x+4y-3), 4xy^2+24y^3-12y^2=4y^2(x+6y-3), x^3+6x^2y-3x^2=x^2(x+6y-3), 8xy^2+16y^3-12y^2=4y^2(2x+4y-3). Введём обозначения P=2x+4y-3, Q=x+6y-3. Тогда система принимает вид cases_2(x^2P)=_(11)(4y^2Q), _(11)(x^2Q)=_2(4y^2P).cases **ОДЗ.** Все четыре аргумента должны быть строго положительны: x^2P>0, 4y^2Q>0, x^2Q>0, 4y^2P>0. В частности отсюда сразу следует x0, y0, а также P>0 и Q>0 (поскольку x^2>0 и 4y^2>0). **Шаг 1. Вычитание уравнений.** Обозначим левые и правые части так: первое уравнение даёт _2(x^2P)=_(11)(4y^2Q), второе — _2(4y^2P)=_(11)(x^2Q) (второе уравнение записано «наоборот», что удобно). Вычтем из первого равенства второе. В левой части (основание 2): _2(x^2P)-_2(4y^2P)=_2(x^2P)/(4y^2P)=_2(x^2)/(4y^2), здесь множитель P>0 корректно сократился. В правой части (основание 11): _(11)(4y^2Q)-_(11)(x^2Q)=_(11)(4y^2Q)/(x^2Q)=_(11)(4y^2)/(x^2)=-_(11)(x^2)/(4y^2). Обозначим t=(x^2)/(4y^2)>0. Получаем _2 t=-_(11)t, т.е. _2 t+_(11)t=0. Так как _2 t+_(11)t=ln t((1)/(ln 2)+(1)/(ln 11)), а скобка строго положительна, равенство возможно лишь при ln t=0, то есть t=1. Значит (x^2)/(4y^2)=1^2=4y^2=2y или x=-2y. **Шаг 2. Отбор знака по ОДЗ.** Рассмотрим случай x=-2y. Тогда P=2x+4y-3=-4y+4y-3=-3<0, и аргумент x^2P=-3x^2<0 — нарушение ОДЗ. Поэтому случай x=-2y решений не даёт. Остаётся x=2y. Подставим x=2y в P и Q: P=2(2y)+4y-3=8y-3, Q=(2y)+6y-3=8y-3, то есть P=Q=8y-3. Тогда все четыре аргумента совпадают: x^2P=4y^2(8y-3), 4y^2Q=4y^2(8y-3), x^2Q=4y^2(8y-3), 4y^2P=4y^2(8y-3). Обозначим это общее значение M=4y^2(8y-3). **Шаг 3. Сложение (или прямая подстановка).** Поскольку левый и правый аргументы первого уравнения теперь равны (оба равны M), первое уравнение превращается в _2 M=_(11)M. Для M>0 функции _2 M и _(11) M совпадают только при M=1: действительно, _2 M-_(11)M=ln M((1)/(ln 2)-(1)/(ln 11)), скобка не равна нулю, поэтому необходимо ln M=0, то есть M=1. (Второе уравнение при x=2y даёт ровно то же условие.) Итак, 4y^2(8y-3)=132y^3-12y^2-1=0. Разложим кубический многочлен: 32y^3-12y^2-1=(2y-1)(16y^2+2y+1). Квадратный трёхчлен 16y^2+2y+1 имеет дискриминант 2^2-4*16*1=4-64=-60<0 и действительных корней не имеет. Поэтому единственный действительный корень — 2y-1=0, то есть y=(1)/(2), x=2y=1. Условие M=1>0 автоматически выполнено, при y=12 имеем 8y-3=1>0, так что ОДЗ соблюдено. **Проверка.** При x=1, y=12 все четыре аргумента равны 1: x^2P=1, 4y^2Q=1, x^2Q=1, 4y^2P=1, и оба уравнения дают _2 1=_(11)1=0, то есть верное равенство. **Ответ:** (1,(1)/(2)).

\(\left(1,\dfrac{1}{2}\right)\)