Задача №18277

Решить систему

$$\{\begin{array}{l}{\log }_2\left(2x^3+4x^{2}y-3x^2\right)={\log }_{11}\left(4x{y}^2+24y^3-12y^2\right),\\ {\log }_{11}\left(x^3+6x^{2}y-3x^2\right)={\log }_2\left(8x{y}^2+16y^3-12y^2\right).\end{array}$$

Разложение аргументов на множители. Разложим все четыре выражения под логарифмами:

$$2x^3+4x^{2}y-3x^2=x^2(2x+4y-3),4x{y}^2+24y^3-12y^2=4y^2(x+6y-3),$$ $$x^3+6x^{2}y-3x^2=x^2(x+6y-3),8x{y}^2+16y^3-12y^2=4y^2(2x+4y-3).$$

Введём обозначения $P=2x+4y-3\text{,}$ $Q=x+6y-3\text{.}$ Тогда система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}{\log }_2\left(x^{2}P\right)={\log }_{11}\left(4y^{2}Q\right),\\ {\log }_{11}\left(x^{2}Q\right)={\log }_2\left(4y^{2}P\right).\end{array}$$

ОДЗ. Все четыре аргумента должны быть строго положительны:

$$x^{2}P>0,4y^{2}Q>0,x^{2}Q>0,4y^{2}P>0.$$

В частности отсюда сразу следует $x\ne 0\text{,}$ $y\ne 0\text{,}$ а также $P>0$ и $Q>0$ (поскольку $x^2>0$ и $4y^2>0$).

Шаг 1. Вычитание уравнений. Обозначим левые и правые части так: первое уравнение даёт ${\log }_2(x^{2}P)={\log }_{11}(4y^{2}Q)\text{,}$ второе — ${\log }_2(4y^{2}P)={\log }_{11}(x^{2}Q)$ (второе уравнение записано «наоборот», что удобно). Вычтем из первого равенства второе. В левой части (основание 2):

$${\log }_2(x^{2}P)-{\log }_2(4y^{2}P)={\log }_2\frac{x^{2}P}{4y^{2}P}={\log }_2\frac{x^2}{4y^2},$$

здесь множитель $P>0$ корректно сократился. В правой части (основание 11):

$${\log }_{11}(4y^{2}Q)-{\log }_{11}(x^{2}Q)={\log }_{11}\frac{4y^{2}Q}{x^{2}Q}={\log }_{11}\frac{4y^2}{x^2}=-{\log }_{11}\frac{x^2}{4y^2}.$$

Обозначим $t=\frac{x^2}{4y^2}>0\text{.}$ Получаем

$${\log }_{2}t=-{\log }_{11}t,\text{т.е.}{\log }_{2}t+{\log }_{11}t=0.$$

Так как ${\log }_{2}t+{\log }_{11}t=\ln t\left(\frac{1}{\ln 2}+\frac{1}{\ln 11}\right)\text{,}$ а скобка строго положительна, равенство возможно лишь при $\ln t=0\text{,}$ то есть $t=1\text{.}$ Значит

$$\frac{x^2}{4y^2}=1⟹x^2=4y^2⟹x=2y\text{или}x=-2y.$$

Шаг 2. Отбор знака по ОДЗ. Рассмотрим случай $x=-2y\text{.}$ Тогда

$$P=2x+4y-3=-4y+4y-3=-3<0,$$

и аргумент $x^{2}P=-3x^2<0$ — нарушение ОДЗ. Поэтому случай $x=-2y$ решений не даёт.

Остаётся $x=2y\text{.}$ Подставим $x=2y$ в $P$ и $Q\text{:}$

$$P=2(2y)+4y-3=8y-3,Q=(2y)+6y-3=8y-3,$$

то есть $P=Q=8y-3\text{.}$ Тогда все четыре аргумента совпадают:

$$x^{2}P=4y^2(8y-3),4y^{2}Q=4y^2(8y-3),x^{2}Q=4y^2(8y-3),4y^{2}P=4y^2(8y-3).$$

Обозначим это общее значение $M=4y^2(8y-3)\text{.}$

Шаг 3. Сложение (или прямая подстановка). Поскольку левый и правый аргументы первого уравнения теперь равны (оба равны $M$), первое уравнение превращается в

$${\log }_{2}M={\log }_{11}M.$$

Для $M>0$ функции ${\log }_{2}M$ и ${\log }_{11}M$ совпадают только при $M=1\text{:}$ действительно, ${\log }_{2}M-{\log }_{11}M=\ln M\left(\frac{1}{\ln 2}-\frac{1}{\ln 11}\right)\text{,}$ скобка не равна нулю, поэтому необходимо $\ln M=0\text{,}$ то есть $M=1\text{.}$ (Второе уравнение при $x=2y$ даёт ровно то же условие.)

Итак,

$$4y^2(8y-3)=1⟺32y^3-12y^2-1=0.$$

Разложим кубический многочлен:

$$32y^3-12y^2-1=(2y-1)(16y^2+2y+1).$$

Квадратный трёхчлен $16y^2+2y+1$ имеет дискриминант $2^2-4\cdot 16\cdot 1=4-64=-60<0$ и действительных корней не имеет. Поэтому единственный действительный корень — $2y-1=0\text{,}$ то есть

$$y=\frac{1}{2},x=2y=1.$$

Условие $M=1>0$ автоматически выполнено, при $y=\frac{1}{2}$ имеем $8y-3=1>0\text{,}$ так что ОДЗ соблюдено.

Проверка. При $x=1,y=\frac{1}{2}$ все четыре аргумента равны $1\text{:}$

$$x^{2}P=1,4y^{2}Q=1,x^{2}Q=1,4y^{2}P=1,$$

и оба уравнения дают ${\log }_{2}1={\log }_{11}1=0\text{,}$ то есть верное равенство.

Ответ: $\left(1,\frac{1}{2}\right)\text{.}$