Задача №17859

Решите уравнение ${\sin }^{2}x+\sqrt{2}|\sin x|\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}\right)+\frac{1}{2}=0\text{.}$

Левая часть уравнения зависит от двух величин: $s=|\sin x|\ge 0$ и $c=\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}\right)\in [-1,1]\text{.}$ Так как ${\sin }^{2}x=|\sin x{|}^2=s^2\text{,}$ уравнение записывается как квадратный трёхчлен относительно $s\text{:}$

Оценка левой части. Выделим полный квадрат:

Оба слагаемых неотрицательны: первое — как квадрат, второе — потому что $c^2\le 1\text{.}$ Значит, левая часть всюду неотрицательна, и равенство нулю возможно лишь тогда, когда оба слагаемых обращаются в нуль одновременно:

Отбор по знаку. Поскольку $s=|\sin x|\ge 0\text{,}$ из равенства $s=-\frac{\sqrt{2}}{2}c$ следует $c\le 0\text{.}$ Вместе с $c=\pm 1$ это оставляет только $c=-1\text{,}$ и тогда

Итак, исходное уравнение равносильно системе

Решение каждого уравнения. Равенство $|\sin x|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ означает $\sin x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ то есть

Равенство $\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}\right)=-1$ даёт $\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}=\pi +2\pi m\text{,}$ откуда

Пересечение серий. Приравняем два выражения для $x\text{:}$

Умножив на $\frac{20}{\pi }\text{,}$ получаем линейное диофантово уравнение

Рассматривая его по модулю $5\text{,}$ имеем $3m\equiv 1(\mathrm{mod}5)\text{,}$ то есть $m\equiv 2(\mathrm{mod}5)\text{.}$ Значит $m=2+5n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}\text{,}$ и подстановка в $x=\frac{13\pi }{20}+\frac{4\pi }{5}m$ даёт

Проверка. При $x=\frac{9\pi }{4}+4\pi n$ имеем $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ поэтому $|\sin x|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\text{;}$ кроме того, $\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}=\frac{5}{2}\cdot \frac{9\pi }{4}-\frac{5\pi }{8}+10\pi n=\frac{45\pi }{8}-\frac{5\pi }{8}+10\pi n=5\pi +10\pi n\text{,}$ так что $\cos \left(\frac{5x}{2}-\frac{5\pi }{8}\right)=\cos 5\pi =-1\text{.}$ Тогда

Равенство выполнено, других решений нет.

Ответ: $x=\frac{9\pi }{4}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$