Задача №17858

Найдите все положительные $x\text{,}$ удовлетворяющие неравенству $x^{-5x-3}<x^{-7}\text{.}$

ОДЗ. По условию $x>0\text{;}$ при этом степень с действительным показателем определена для любого положительного основания, так что иных ограничений нет.

Неравенство $x^{-5x-3}<x^{-7}$ сравнивает две степени с одинаковым положительным основанием $x\text{.}$ Сравним показатели, разобрав случаи по основанию.

Случай $x=1\text{.}$ Тогда $x^{-5x-3}=1=x^{-7}\text{,}$ и строгое неравенство не выполнено. Точка $x=1$ в ответ не входит.

Случай $x>1\text{.}$ Функция $t\mapsto x^t$ строго возрастает, поэтому

С учётом условия $x>1$ (а $1>\frac{4}{5}$) получаем весь луч $x>1\text{.}$

Случай $0<x<1\text{.}$ Функция $t\mapsto x^t$ строго убывает, поэтому знак неравенства показателей меняется:

С учётом $0<x<1$ получаем $0<x<\frac{4}{5}\text{.}$

Объединение. В граничной точке $x=\frac{4}{5}$ показатели равны ($-5\cdot \frac{4}{5}-3=-7$), то есть имеет место равенство, а не строгое неравенство, поэтому $x=\frac{4}{5}$ исключается. Итог:

Ответ: $x\in \left(0,\frac{4}{5}\right)\cup (1,+\infty )\text{.}$