Задача №17857

Найдите максимальное значение функции ${\log }_{1/3}(x^2+4x+31)\text{.}$

Область определения. Подлогарифмическое выражение $x^2+4x+31=(x+2{)}^2+27⩾27>0$ при всех $x\in \mathbb{R}\text{,}$ поэтому функция определена на всей числовой прямой.

Оценка. Выделим полный квадрат: $x^2+4x+31=(x+2{)}^2+27\text{.}$ Минимум подлогарифмического выражения равен $27$ и достигается при $x=-2\text{.}$

Основание логарифма $\frac{1}{3}\in (0,1)\text{,}$ поэтому функция $t\mapsto {\log }_{1/3}t$ убывает. Значит, максимум ${\log }_{1/3}(x^2+4x+31)$ достигается там, где аргумент минимален, то есть при $x=-2\text{:}$

Ответ: $-3\text{.}$