Задача №17834

Решите неравенство

$$15{\left(4+4^{-2x}\right)}^{-1/2}-{\left(4^{1+2x}+1\right)}^{1/2}⩾20^{1/2}\cdot 4^{x/2}.$$

ОДЗ. Подкоренные выражения $4+4^{-2x}>0$ и $4^{1+2x}+1>0$ положительны при всех $x\in \mathbb{R}\text{,}$ поэтому ОДЗ — вся числовая прямая.

Замена. Положим $t=2^x>0\text{.}$ Тогда $4^x=t^2\text{,}$ $4^{-2x}=t^{-4}\text{,}$ $4^{1+2x}=4t^4\text{,}$ а правая часть $20^{1/2}\cdot 4^{x/2}=2\sqrt{5}{2}^x=2\sqrt{5}t\text{.}$ Преобразуем радикалы:

$$(4+4^{-2x}{)}^{-1/2}={\left(\frac{4t^4+1}{t^4}\right)}^{-1/2}=\frac{t^2}{\sqrt{4t^4+1}},(4^{1+2x}+1{)}^{1/2}=\sqrt{4t^4+1}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{15t^2}{\sqrt{4t^4+1}}-\sqrt{4t^4+1}⩾2\sqrt{5}t.$$

Умножая на $\sqrt{4t^4+1}>0\text{,}$ получаем равносильно

$$15t^2-(4t^4+1)⩾2\sqrt{5}t\sqrt{4t^4+1},$$

то есть

$$\underset{=:A}{\underbrace{-(4t^4-15t^2+1)}}⩾2\sqrt{5}t\sqrt{4t^4+1}.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Анализ (*). Правая часть неотрицательна, поэтому необходимое условие — $A⩾0\text{,}$ т.е. $4t^4-15t^2+1⩽0\text{.}$ Корни по $t^2\text{:}$ $t^2=\frac{15\pm \sqrt{209}}{8}\text{,}$ что даёт $t\in [t_1,t_2]\text{,}$ где $t_1\approx 0,2606\text{,}$ $t_2\approx 1,9189\text{.}$ При выполнении $A⩾0$ обе части (*) неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству квадратов:

$$A^2⩾20t^2(4t^4+1).$$

Перенося всё влево и раскладывая на множители, получаем

$$A^2-20t^2(4t^4+1)=(t-1)(t+1)(2t-1)(2t+1)(2t^2-7t+1)(2t^2+7t+1)⩾0.$$

Для $t>0$ множители $(t+1)\text{,}$ $(2t+1)\text{,}$ $(2t^2+7t+1)$ положительны, поэтому знак определяется выражением

$$g(t)=(t-1)(2t-1)(2t^2-7t+1).$$

Положительные нули: $t=\frac{1}{2}\text{,}$ $t=1\text{,}$ а также $t=\frac{7-\sqrt{41}}{4}\approx 0,1492$ и $t=\frac{7+\sqrt{41}}{4}\approx 3,3508\text{.}$ Методом интервалов для $t>0\text{:}$

$$g(t)⩾0⟺t\in (0,\frac{7-\sqrt{41}}{4}]\cup [\frac{1}{2},1]\cup [\frac{7+\sqrt{41}}{4},+\infty ).$$

Пересечение с условием $A⩾0$ (т.е. $t\in [0,2606;1,9189]$):
$(0;0,1492]$ отпадает (правее $0,1492$ лежит граница $0,2606$); луч $[3,3508;\infty )$ отпадает; остаётся

$$t\in [\frac{1}{2},1],$$

и этот отрезок целиком лежит в $[0,2606;1,9189]\text{,}$ так что условие $A⩾0$ на нём выполнено, и возведение в квадрат было равносильным.

Возврат к $x\text{.}$ $t=2^x\in [\frac{1}{2},1]⟺2^{-1}⩽2^x⩽2^0⟺-1⩽x⩽0.$

Концы. При $t=\frac{1}{2}$ (т.е. $x=-1$) и $t=1$ (т.е. $x=0$) достигается равенство — это корни множителей $(2t-1)$ и $(t-1)\text{;}$ подстановка подтверждает, что левая часть исходного неравенства равна правой. Посторонних корней нет: переходы были равносильными на ОДЗ.

Ответ. $-1⩽x⩽0\text{.}$