Задача №17810

Решите неравенство

$$12{\left(3+3^{-2x}\right)}^{-1/2}-{\left(3^{1+2x}+1\right)}^{1/2}⩾4\cdot 3^{x/2}.$$

ОДЗ. Все степени $3^{(\cdot )}$ положительны при любом $x\text{,}$ поэтому подкоренные выражения $3+3^{-2x}>0$ и $3^{1+2x}+1>0\text{,}$ а основания возводимых в дробную степень величин положительны. Значит, область определения — вся числовая прямая $x\in \mathbb{R}\text{,}$ и обе части неравенства всюду определены.

Замена. Положим $t=3^x\text{,}$ тогда $t>0$ (причём отображение $x\mapsto 3^x$ строго возрастает и биективно отображает $\mathbb{R}$ на $(0,+\infty )\text{,}$ так что неравенства по $x$ и по $t$ равносильны). Имеем:

$$3+3^{-2x}=3+\frac{1}{t^2}=\frac{3t^2+1}{t^2},3^{1+2x}+1=3t^2+1,4\cdot 3^{x/2}=4\sqrt{t}.$$

Поэтому

$${\left(3+3^{-2x}\right)}^{-1/2}=\frac{t}{\sqrt{3t^2+1}},{\left(3^{1+2x}+1\right)}^{1/2}=\sqrt{3t^2+1}.$$

Левая часть приводится к общему знаменателю:

$$\frac{12t}{\sqrt{3t^2+1}}-\sqrt{3t^2+1}=\frac{12t-(3t^2+1)}{\sqrt{3t^2+1}}=\frac{-3t^2+12t-1}{\sqrt{3t^2+1}}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{-3t^2+12t-1}{\sqrt{3t^2+1}}⩾4\sqrt{t},t>0.$$

Сведение к многочлену. Так как $\sqrt{3t^2+1}>0\text{,}$ умножаем на него:

$$-3t^2+12t-1⩾4\sqrt{t}\cdot \sqrt{3t^2+1}=4\sqrt{t(3t^2+1)}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Правая часть $(1)$ неотрицательна, поэтому неравенство возможно лишь там, где левая часть $A(t)=-3t^2+12t-1⩾0\text{.}$ Корни $A\text{:}$ $t=2\pm \frac{\sqrt{33}}{3}\text{,}$ то есть необходимо

$$2-\frac{\sqrt{33}}{3}⩽t⩽2+\frac{\sqrt{33}}{3}(\approx 0,085⩽t⩽3,915).\text{\hspace{1em}(2)}$$

В этой области обе части $(1)$ неотрицательны, значит можно возвести в квадрат равносильно:

$$A(t{)}^2⩾16t(3t^2+1).$$

Раскрывая, получаем

$$9t^4-120t^3+150t^2-40t+1⩾0.$$

Левая часть раскладывается на множители:

$$(t-1)(3t-1)\left(3t^2-36t+1\right)⩾0.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Знаковый анализ. Корни сомножителей: $t=1\text{,}$ $t=\frac{1}{3}$ и $t=6\pm \frac{\sqrt{321}}{3}$ ($\approx 0,028$ и $\approx 11,97$). На допустимом отрезке $(2)\text{,}$ то есть для $t\in [2-\frac{\sqrt{33}}{3},2+\frac{\sqrt{33}}{3}]\text{,}$ множитель $3t^2-36t+1<0$ (так как этот отрезок лежит строго между его корнями $0,028$ и $11,97$). Поэтому знак произведения $(3)$ на этом отрезке противоположен знаку $(t-1)(3t-1)\text{:}$

$$(t-1)(3t-1)\left(3t^2-36t+1\right)⩾0⟺(t-1)(3t-1)⩽0⟺\frac{1}{3}⩽t⩽1.$$

Отрезок $[\frac{1}{3},1]$ целиком содержится в области $(2)\text{,}$ так что найденное множество удовлетворяет и необходимому условию $A(t)⩾0\text{.}$ Итак, в переменной $t\text{:}$

$$\frac{1}{3}⩽t⩽1.$$

Обратная замена. $\frac{1}{3}⩽3^x⩽1⟺3^{-1}⩽3^x⩽3^0\text{.}$ Функция $3^x$ монотонно возрастает, поэтому

$$-1⩽x⩽0.$$

Проверка краёв и посторонних корней. На границах $t=\frac{1}{3}$ (то есть $x=-1$) и $t=1$ ($x=0$) в $(1)$ достигается равенство, и они входят в ответ. Возведение в квадрат не дало посторонних корней, поскольку выполнялось лишь там, где обе части $(1)$ неотрицательны (условие $(2)$). Подстановкой: при $x=-1$ и $x=0$ левая часть исходного неравенства равна правой; при $x=-\frac{1}{2}$ (внутренняя точка) левая часть строго больше; вне отрезка (например $x=-1,0001$ или $x=0,0001$) — строго меньше. Это согласуется с найденным множеством.

Ответ: $-1⩽x⩽0\text{.}$