Решите неравенство (4^x-7* 2^x+12)*sqrt(3^(x+1)-1)<= 0.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: 3^(x+1)-1 0 3^(x+1) 1 x+1 0 x -1. Итак, ОДЗ: x -1. На ОДЗ множитель sqrt(3^(x+1)-1) 0, причём он обращается в нуль тогда и только тогда, когда 3^(x+1)-1=0, то есть при x=-1. Поэтому произведение (4^x-7* 2^x+12)*sqrt(3^(x+1)-1) 0 на ОДЗ выполнено в двух случаях: 1) корень равен нулю, то есть x=-1 (тогда всё произведение равно нулю независимо от первого множителя; первый множитель при x=-1 равен 4^(-1)-7* 2^(-1)+12=14-72+12=9>0, но это неважно, так как произведение всё равно равно нулю); 2) корень строго положителен (x>-1) и при этом первый множитель неположителен: 4^x-7* 2^x+12 0. Решим неравенство второго случая заменой t=2^x>0. Поскольку 4^x=(2^x)^2=t^2, получаем квадратное неравенство t^2-7t+12 0 (t-3)(t-4) 0 3 t 4. Возвращаясь к x: 3 2^x 4 _2 3 x _2 4 _2 3 x 2. Проверим, что весь этот отрезок лежит в области x>-1: так как _2 3~ 1,585>-1, условие x>-1 выполнено автоматически, и корень здесь строго положителен. Концы x=_2 3 и x=2 дают первый множитель, равный нулю, поэтому произведение равно нулю — они входят в ответ. Объединяя оба случая, получаем xin-1U[_2 3,2]. Посторонних корней нет: точка x=-1 принадлежит ОДЗ (это его граница), а весь отрезок [_2 3,2] также лежит в ОДЗ. Заметим, что точка x=-1 изолирована: на интервале (-1,_2 3) корень положителен, а первый множитель положителен (например, при x=0: 1-7+12=6>0), так что произведение строго положительно и неравенству не удовлетворяет.

x = -1 \quad\text{или}\quad x \in [\log_2 3,\, 2]