Задача №17796

Решите неравенство

$$(4^x-7\cdot 2^x+12)\cdot \sqrt{3^{x+1}-1}\le 0.$$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$3^{x+1}-1⩾0⟺3^{x+1}⩾1⟺x+1⩾0⟺x⩾-1.$$

Итак, ОДЗ: $x⩾-1\text{.}$

На ОДЗ множитель $\sqrt{3^{x+1}-1}⩾0\text{,}$ причём он обращается в нуль тогда и только тогда, когда $3^{x+1}-1=0\text{,}$ то есть при $x=-1\text{.}$

Поэтому произведение $(4^x-7\cdot 2^x+12)\cdot \sqrt{3^{x+1}-1}⩽0$ на ОДЗ выполнено в двух случаях:

1) корень равен нулю, то есть $x=-1$ (тогда всё произведение равно нулю независимо от первого множителя; первый множитель при $x=-1$ равен $4^{-1}-7\cdot 2^{-1}+12=\frac{1}{4}-\frac{7}{2}+12=9>0\text{,}$ но это неважно, так как произведение всё равно равно нулю);

2) корень строго положителен ($x>-1$) и при этом первый множитель неположителен:

$$4^x-7\cdot 2^x+12⩽0.$$

Решим неравенство второго случая заменой $t=2^x>0\text{.}$ Поскольку $4^x=(2^x{)}^2=t^2\text{,}$ получаем квадратное неравенство

$$t^2-7t+12⩽0⟺(t-3)(t-4)⩽0⟺3⩽t⩽4.$$

Возвращаясь к $x\text{:}$

$$3⩽2^x⩽4⟺{\log }_{2}3⩽x⩽{\log }_{2}4⟺{\log }_{2}3⩽x⩽2.$$

Проверим, что весь этот отрезок лежит в области $x>-1\text{:}$ так как ${\log }_{2}3\approx 1,585>-1\text{,}$ условие $x>-1$ выполнено автоматически, и корень здесь строго положителен. Концы $x={\log }_{2}3$ и $x=2$ дают первый множитель, равный нулю, поэтому произведение равно нулю — они входят в ответ.

Объединяя оба случая, получаем

$$x\in \{-1\}\cup [{\log }_{2}3,2].$$

Посторонних корней нет: точка $x=-1$ принадлежит ОДЗ (это его граница), а весь отрезок $[{\log }_{2}3,2]$ также лежит в ОДЗ. Заметим, что точка $x=-1$ изолирована: на интервале $(-1,{\log }_{2}3)$ корень положителен, а первый множитель положителен (например, при $x=0\text{:}$ $1-7+12=6>0$), так что произведение строго положительно и неравенству не удовлетворяет.