Найдите максимальное значение функции log1/2(x2−6x+17).
Областью определения функции служит всё множество R: аргумент логарифма всюду положителен, так как
x2−6x+17=(x−3)2+8⩾8>0при всех x (дискриминант трёхчлена x2−6x+17 равен 36−68=−32<0, поэтому он положителен при любом x).
Выделим полный квадрат:
x2−6x+17=(x−3)2+8.Так как (x−3)2⩾0, причём равенство достигается лишь при x=3, получаем
x2−6x+17⩾8,то есть наименьшее значение аргумента логарифма равно 8 и достигается ровно при x=3.
Основание логарифма 21<1, поэтому функция t↦log1/2t строго убывает на (0,+∞): большим значениям аргумента отвечают меньшие значения логарифма. Значит, максимум исходной функции достигается там, где её аргумент минимален, то есть при x=3. Применяя убывание к неравенству x2−6x+17⩾8, получаем оценку
log1/2(x2−6x+17)⩽log1/28=−log28=−3,справедливую при всех x, причём равенство достигается при x=3.
Итак, максимальное значение функции равно −3; оно достигается в единственной точке x=3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ